ГДЗ по алгебре 7 класс Макарычев Углубленный уровень упражнение - 1579

Пусть $n$ — натуральное число. Четыре последовательные степени числа $a$ имеют вид: $a^n$, $a^{n+1}$, $a^{n+2}$ и $a^{n+3}$. Запишем их сумму и вынесем общий множитель $a^n$ за скобки: $$ S = a^n + a^{n+1} + a^{n+2} + a^{n+3} = a^n (1 + a + a^2 + a^3) $$ Так как $n \ge 1$, число $S$ при любом выборе четырех последовательных степеней делится на основание $a$ и на выражение в скобках. Разложим полученное произведение на простые множители для каждого случая. а) Для числа 2: $$ S = 2^n + 2^{n+1} + 2^{n+2} + 2^{n+3} = 2^n (1 + 2 + 2^2 + 2^3) $$ Вычислим значение выражения в скобках: $$ 1 + 2 + 4 + 8 = 15 $$ Тогда: $$ S = 2^n \cdot 15 = 2^n \cdot 3 \cdot 5 $$ Так как $n \ge 1$, при любом $n$ в разложение суммы на простые множители входят только простые числа 2, 3 и 5. Итог пункта а: 2, 3, 5. б) Для числа 3: $$ S = 3^n + 3^{n+1} + 3^{n+2} + 3^{n+3} = 3^n (1 + 3 + 3^2 + 3^3) $$ Вычислим значение выражения в скобках: $$ 1 + 3 + 9 + 27 = 40 $$ Разложим 40 на простые множители: $40 = 8 \cdot 5 = 2^3 \cdot 5$. Тогда: $$ S = 3^n \cdot 40 = 2^3 \cdot 3^n \cdot 5 $$ При любом $n \ge 1$ сумма делится на простые числа 2, 3 и 5. Итог пункта б: 2, 3, 5. в) Для числа 5: $$ S = 5^n + 5^{n+1} + 5^{n+2} + 5^{n+3} = 5^n (1 + 5 + 5^2 + 5^3) $$ Вычислим значение выражения в скобках: $$ 1 + 5 + 25 + 125 = 156 $$ Разложим 156 на простые множители: $156 = 4 \cdot 39 = 2^2 \cdot 3 \cdot 13$. Тогда: $$ S = 5^n \cdot 156 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5^n \cdot 13 $$ При любом $n \ge 1$ сумма делится на простые числа 2, 3, 5 и 13. Итог пункта в: 2, 3, 5, 13. Ответ: а) 2, 3, 5; б) 2, 3, 5; в) 2, 3, 5, 13.