ГДЗ по алгебре 7 класс Макарычев Углубленный уровень упражнение - 1576

Раскроем скобки в правой части заданных равенств и приведём подобные слагаемые: $$ (x^2 + ax + b)(x^2 + cx + d) = x^4 + cx^3 + dx^2 + ax^3 + acx^2 + adx + bx^2 + bcx + bd = $$ $$ = x^4 + (a + c)x^3 + (b + d + ac)x^2 + (ad + bc)x + bd $$ Равенство двух многочленов является тождеством тогда и только тогда, когда равны коэффициенты при соответствующих степенях переменной $x$. --- ### а) $x^4 + x^3 + x^2 + 2 = (x^2 + ax + b)(x^2 + cx + d)$ Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях $x$ в левой и правой частях: $$ \begin{cases} a + c = 1 \\ b + d + ac = 1 \\ ad + bc = 0 \\ bd = 2 \end{cases} $$ 1. Из первого уравнения выразим $c$: $c = 1 - a$. 2. Подставим $c = 1 - a$ в третье уравнение: $$ ad + b(1 - a) = 0 $$ $$ ad + b - ab = 0 $$ $$ a(b - d) = b $$ Заметим, что $b \neq d$ (если бы $b = d$, то из $a \cdot 0 = b$ следовало бы $b = 0$, что противоречит условию $bd = 2$). Следовательно, выразим $a$: $$ a = \frac{b}{b - d} $$ Тогда: $$ c = 1 - a = 1 - \frac{b}{b - d} = \frac{-d}{b - d} = \frac{d}{d - b} $$ 3. Подставим выражения для $a$ и $c$ во второе уравнение: $$ b + d + \left(\frac{b}{b - d}\right)\left(\frac{-d}{b - d}\right) = 1 $$ $$ b + d - \frac{bd}{(b - d)^2} = 1 $$ Так как $bd = 2$, а $(b - d)^2 = (b + d)^2 - 4bd = (b + d)^2 - 8$, обозначим сумму $b + d = S$: $$ S - \frac{2}{S^2 - 8} = 1 $$ $$ (S - 1)(S^2 - 8) = 2 $$ $$ S^3 - S^2 - 8S + 8 = 2 $$ $$ S^3 - S^2 - 8S + 6 = 0 $$ Подбором среди делителей свободного члена находим корень $S = 3$: $$ 3^3 - 3^2 - 8 \cdot 3 + 6 = 27 - 9 - 24 + 6 = 0 $$ Разложим многочлен на множители: $$ (S - 3)(S^2 + 2S - 2) = 0 $$ Для корней уравнения $S^2 + 2S - 2 = 0$ выражение $(b - d)^2 = S^2 - 8$ отрицательно, поэтому действительных решений нет. Значит, единственное действительное значение суммы: $$ S = b + d = 3 $$ 4. Найдём $b$ и $d$: $$ \begin{cases} b + d = 3 \\ bd = 2 \end{cases} $$ По теореме, обратной теореме Виета, числа $b$ и $d$ являются корнями уравнения $t^2 - 3t + 2 = 0$, откуда $t_1 = 1$, $t_2 = 2$. Получаем два возможных случая: - **Случай 1:** $b = 1$, $d = 2$. Тогда: $a = \frac{1}{1 - 2} = -1$, $c = 1 - (-1) = 2$. - **Случай 2:** $b = 2$, $d = 1$. Тогда: $a = \frac{2}{2 - 1} = 2$, $c = 1 - 2 = -1$. **Ответ к пункту а):** $a = -1$, $b = 1$, $c = 2$, $d = 2$ или $a = 2$, $b = 2$, $c = -1$, $d = 1$. --- ### б) $x^4 + 2x^2 - x + 2 = (x^2 + ax + b)(x^2 + cx + d)$ Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях $x$ в левой и правой частях: $$ \begin{cases} a + c = 0 \\ b + d + ac = 2 \\ ad + bc = -1 \\ bd = 2 \end{cases} $$ 1. Из первого уравнения выразим $c$: $c = -a$. 2. Подставим $c = -a$ во второе и третье уравнения: - из второго: $$ b + d - a^2 = 2 \implies b + d = 2 + a^2 $$ - из третьего: $$ ad - ab = -1 \implies a(b - d) = 1 \implies a = \frac{1}{b - d} $$ 3. Подставим выражение для $a$ в равенство $b + d = 2 + a^2$: $$ b + d = 2 + \frac{1}{(b - d)^2} $$ Так как $(b - d)^2 = (b + d)^2 - 4bd = (b + d)^2 - 8$, обозначим сумму $b + d = S$: $$ S = 2 + \frac{1}{S^2 - 8} $$ $$ (S - 2)(S^2 - 8) = 1 $$ $$ S^3 - 2S^2 - 8S + 16 = 1 $$ $$ S^3 - 2S^2 - 8S + 15 = 0 $$ Подбором находим корень $S = 3$: $$ 3^3 - 2 \cdot 3^2 - 8 \cdot 3 + 15 = 27 - 18 - 24 + 15 = 0 $$ Разложим на множители: $$ (S - 3)(S^2 + S - 5) = 0 $$ Для корней уравнения $S^2 + S - 5 = 0$ значение $(b - d)^2 = S^2 - 8$ меньше нуля, поэтому действительных решений оно не даёт. Единственное действительное значение суммы: $$ S = b + d = 3 $$ 4. Найдём $b$ и $d$: $$ \begin{cases} b + d = 3 \\ bd = 2 \end{cases} $$ Корни этой системы: $1$ и $2$. - **Случай 1:** $b = 1$, $d = 2$. Тогда: $a = \frac{1}{1 - 2} = -1$, $c = -(-1) = 1$. - **Случай 2:** $b = 2$, $d = 1$. Тогда: $a = \frac{1}{2 - 1} = 1$, $c = -1$. **Ответ к пункту б):** $a = -1$, $b = 1$, $c = 1$, $d = 2$ или $a = 1$, $b = 2$, $c = -1$, $d = 1$.