ГДЗ по алгебре 7 класс Макарычев Углубленный уровень упражнение - 1546

По условию задачи при делении на 16 число 1524 даёт остаток 4, а число 957 — остаток 13. Запишем эти числа в виде деления с остатком: $$ 1524 = 16k + 4 $$ $$ 957 = 16m + 13 $$ где $k$ и $m$ — некоторые целые неотрицательные числа (неполные частные). а) Рассмотрим сумму чисел $1524 + 957$: $$ 1524 + 957 = (16k + 4) + (16m + 13) = 16(k + m) + 17 $$ Выделим из числа 17 слагаемое, кратное 16: $17 = 16 \cdot 1 + 1$. Получаем: $$ 16(k + m) + 16 + 1 = 16(k + m + 1) + 1 $$ Так как $0 \leqslant 1 < 16$, остаток от деления равен 1. Ответ: 1. б) Рассмотрим разность чисел $1524 - 957$: $$ 1524 - 957 = (16k + 4) - (16m + 13) = 16(k - m) - 9 $$ Остаток должен быть неотрицательным числом от 0 до 15. Представим $-9$ как $-16 + 7$: $$ 16(k - m) - 16 + 7 = 16(k - m - 1) + 7 $$ Так как $0 \leqslant 7 < 16$, остаток от деления равен 7. Ответ: 7. в) Рассмотрим произведение чисел $1524 \cdot 957$: $$ 1524 \cdot 957 = (16k + 4)(16m + 13) = 16^2 km + 16 \cdot 13k + 16 \cdot 4m + 4 \cdot 13 $$ Вынесем общий множитель 16 за скобки из слагаемых, которые делятся на 16: $$ 16(16km + 13k + 4m) + 52 $$ Разделим 52 с остатком на 16 ($52 = 16 \cdot 3 + 4$): $$ 16(16km + 13k + 4m) + 16 \cdot 3 + 4 = 16(16km + 13k + 4m + 3) + 4 $$ Так как $0 \leqslant 4 < 16$, остаток от деления равен 4. Ответ: 4. г) Рассмотрим сумму квадратов $1524^2 + 957^2$: $$ 1524^2 + 957^2 = (16k + 4)^2 + (16m + 13)^2 $$ Применим формулу квадрата суммы: $$ (16k)^2 + 2 \cdot 16k \cdot 4 + 4^2 + (16m)^2 + 2 \cdot 16m \cdot 13 + 13^2 $$ Слагаемые, содержащие множитель 16, объединим и вынесем 16 за скобки: $$ 16(16k^2 + 8k + 16m^2 + 26m) + (4^2 + 13^2) $$ Вычислим значение выражения в последних скобках: $$ 4^2 + 13^2 = 16 + 169 = 185 $$ Разделим 185 с остатком на 16 ($185 = 16 \cdot 11 + 9$): $$ 16(16k^2 + 8k + 16m^2 + 26m) + 16 \cdot 11 + 9 = 16(16k^2 + 8k + 16m^2 + 26m + 11) + 9 $$ Так как $0 \leqslant 9 < 16$, остаток от деления равен 9. Ответ: 9.