ГДЗ по алгебре 7 класс Макарычев Углубленный уровень упражнение - 1545

По условию $a \equiv 5 \pmod{7}$ и $b \equiv 3 \pmod{7}$. Применим свойства сравнений по модулю для каждого пункта: а) Сложим сравнения почленно: $$ a + b \equiv 5 + 3 \pmod{7} $$ $$ a + b \equiv 8 \pmod{7} $$ Так как $8 = 1 \cdot 7 + 1$, получаем $8 \equiv 1 \pmod{7}$, следовательно: $$ a + b \equiv 1 \pmod{7} $$ Остаток равен 1. б) Вычтем сравнения почленно: $$ a - b \equiv 5 - 3 \pmod{7} $$ $$ a - b \equiv 2 \pmod{7} $$ Так как $0 \leqslant 2 < 7$, остаток равен 2. в) Перемножим сравнения: $$ ab \equiv 5 \cdot 3 \pmod{7} $$ $$ ab \equiv 15 \pmod{7} $$ Так как $15 = 2 \cdot 7 + 1$, получаем: $$ ab \equiv 1 \pmod{7} $$ Остаток равен 1. г) Возведём сравнение для $a$ в квадрат: $$ a^2 \equiv 5^2 \pmod{7} $$ $$ a^2 \equiv 25 \pmod{7} $$ Так как $25 = 3 \cdot 7 + 4$, получаем: $$ a^2 \equiv 4 \pmod{7} $$ Остаток равен 4. д) Возведём сравнение для $b$ в четвертую степень: $$ b^4 \equiv 3^4 \pmod{7} $$ $$ b^4 \equiv 81 \pmod{7} $$ Так как $81 = 11 \cdot 7 + 4$, получаем: $$ b^4 \equiv 4 \pmod{7} $$ Остаток равен 4. Ответ: а) 1; б) 2; в) 1; г) 4; д) 4.