ГДЗ по алгебре 7 класс Макарычев Углубленный уровень упражнение - 1527

При делении натурального числа на $15$ возможны следующие остатки: $$ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14 $$ Всего существует $15$ различных вариантов остатка. По условию дано $16$ различных натуральных чисел. По принципу Дирихле, если $16$ чисел («зайцев») распределить по $15$ возможным остаткам («клеткам»), то хотя бы два числа дадут одинаковый остаток при делении на $15$. Пусть эти числа равны $a$ и $b$, а их общий остаток при делении на $15$ равен $r$ (где $0 \le r \le 14$). Тогда их можно представить в виде: $$ a = 15k + r $$ $$ b = 15m + r $$ где $k$ и $m$ — целые неотрицательные числа. Рассмотрим разность чисел $a$ и $b$: $$ a - b = (15k + r) - (15m + r) = 15k - 15m = 15(k - m) $$ Так как $k$ и $m$ — целые числа, то их разность $(k - m)$ также является целым числом. Следовательно, произведение $15(k - m)$ делится на $15$, а значит, и число $a - b$ делится на $15$. Что и требовалось доказать.