ГДЗ по алгебре 7 класс Макарычев Углубленный уровень вопросы и задания - §8

### 1. Решение уравнений, сводящихся к линейным Рассмотрим уравнение: $$ 2(3x - 5) - 3(x + 6) = 12 + 5x $$ **Алгоритм решения:** 1. **Раскрыть скобки** в обеих частях уравнения, используя распределительное свойство умножения: $$ 6x - 10 - 3x - 18 = 12 + 5x $$ 2. **Привести подобные слагаемые** в левой и правой частях: $$ 3x - 28 = 12 + 5x $$ 3. **Сгруппировать слагаемые:** перенести слагаемые с переменной в левую часть, а свободные члены (числа) — в правую, меняя их знаки на противоположные: $$ 3x - 5x = 12 + 28 $$ 4. **Привести подобные слагаемые**, получив линейное уравнение вида $ax = b$: $$ -2x = 40 $$ 5. **Найти значение переменной**, разделив обе части уравнения на коэффициент при неизвестном: $$ x = 40 : (-2) $$ $$ x = -20 $$ **Доказательство равносильности:** Два уравнения называют равносильными, если они имеют одни и те же корни (или оба не имеют корней). Уравнение $-2x = 40$ получено из исходного уравнения с помощью следующих равносильных преобразований: - Раскрытие скобок и приведение подобных слагаемых в частях уравнения являются тождественными преобразованиями выражений. Замена части уравнения тождественно равным ей выражением приводит к равносильному уравнению. - Перенос слагаемых $5x$ и $-28$ из одной части уравнения в другую с противоположным знаком равносилен прибавлению к обеим частям уравнения одного и того же выражения (соответственно $-5x$ и $28$). Это преобразование сохраняет множество корней уравнения. Так как каждое выполненное действие является равносильным переходом, полученное линейное уравнение $-2x = 40$ равносильно исходному уравнению. --- ### 2. Решение уравнения с дробями Решим уравнение: $$ \frac{3x - 1}{5} - \frac{x + 2}{3} = 1 $$ 1. Умножим обе части уравнения на наименьший общий знаменатель дробей, то есть на $15$: $$ 15 \cdot \left(\frac{3x - 1}{5} - \frac{x + 2}{3}\right) = 15 \cdot 1 $$ $$ 3(3x - 1) - 5(x + 2) = 15 $$ 2. Раскроем скобки: $$ 9x - 3 - 5x - 10 = 15 $$ 3. Приведем подобные слагаемые в левой части: $$ 4x - 13 = 15 $$ 4. Перенесем свободный член $-13$ в правую часть с противоположным знаком: $$ 4x = 15 + 13 $$ $$ 4x = 28 $$ Получено линейное уравнение с одной переменной. 5. Разделим обе части на коэффициент при $x$: $$ x = 28 : 4 $$ $$ x = 7 $$ **Ответ:** $x = 7$. **Доказательство равносильности:** Линейное уравнение $4x = 28$ получено из исходного уравнения с помощью теорем о равносильности: 1. Обе части уравнения умножили на одно и то же число $15$, отличное от нуля. Умножение обеих частей уравнения на ненулевое число приводит к уравнению, равносильному данному. 2. Раскрытие скобок и приведение подобных слагаемых представляют собой тождественные преобразования в пределах одной части уравнения, что не изменяет множества его корней. 3. Перенос числа $-13$ в правую часть с изменением знака на противоположный равносилен прибавлению к обеим частям уравнения числа $13$, что также сохраняет равносильность. Следовательно, уравнение $4x = 28$ равносильно исходному уравнению. --- ### 3. Этапы решения задач с помощью уравнений При решении текстовых задач с помощью уравнений выделяют три основных этапа: 1. **Первый этап — составление математической модели (составление уравнения):** - анализ условия задачи и выбор неизвестной величины, которую обозначают буквой (обычно $x$); - выражение других неизвестных величин через выбранную переменную; - установление зависимостей между величинами по условию задачи и составление уравнения. 2. **Второй этап — работа с математической моделью (решение уравнения):** - нахождение корней составленного уравнения с помощью алгебраических преобразований. 3. **Третий этап — ответ на вопрос задачи (анализ результата):** - соотнесение найденных корней со смыслом задачи (проверка ограничений: например, число рабочих должно быть натуральным, а расстояние или время — положительными); - нахождение всех искомых величин задачи; - запись окончательного ответа.