ГДЗ по алгебре 7 класс Макарычев Углубленный уровень вопросы и задания - §9

1. **Корнем уравнения** называется значение переменной, при котором уравнение обращается в верное числовое равенство. Проверим, является ли число $2$ корнем уравнения $x^3 - x = 6$. Для этого подставим вместо переменной $x$ число $2$: $$ 2^3 - 2 = 8 - 2 = 6 $$ Получили верное числовое равенство $6 = 6$. Значит, число $2$ является корнем данного уравнения. 2. **Решить уравнение** — это значит найти все его корни или доказать, что корней нет. 3. **Равносильными уравнениями** называются уравнения, имеющие одни и те же корни (или если оба уравнения не имеют корней). **Свойства перехода к равносильному уравнению:** * Если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак на противоположный, то получится уравнение, равносильное данному. * Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю, то получится уравнение, равносильное данному. * Если в какой-либо части уравнения выполнить тождественные преобразования (раскрыть скобки, привести подобные слагаемые), то получится уравнение, равносильное данному. **Пример двух равносильных уравнений:** Уравнения $3x - 1 = 5$ и $3x = 6$ являются равносильными, так как каждое из них имеет единственный корень $x = 2$. 4. **Линейным уравнением с одной переменной** называется уравнение вида $ax = b$, где $x$ — переменная, $a$ и $b$ — некоторые числа (коэффициенты). 5. Линейное уравнение с одной переменной $ax = b$ может иметь **один корень**, **бесконечно много корней** или **не иметь корней**: * **Один корень:** если $a \neq 0$. Корень находится по формуле $x = \frac{b}{a}$. *Пример:* $4x = 12$ имеет единственный корень $x = 3$. * **Бесконечно много корней:** если $a = 0$ и $b = 0$. Уравнение принимает вид $0 \cdot x = 0$, и его корнем является любое число. *Пример:* $0x = 0$. * **Не имеет корней:** если $a = 0$, а $b \neq 0$. Уравнение принимает вид $0 \cdot x = b$, что не выполняется ни при каком значении $x$. *Пример:* $0x = 7$.