ГДЗ по алгебре 7 класс Колягин Базовый уровень упражнение - 848

Перенесем слагаемое $3xyz$ в левую часть равенства: $$ x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = 0 $$ Преобразуем выражение в левой части. Для этого воспользуемся формулой куба суммы в виде $x^3 + y^3 = (x + y)^3 - 3xy(x + y)$: $$ x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = (x + y)^3 - 3xy(x + y) + z^3 - 3xyz $$ Сгруппируем слагаемые: $$ ((x + y)^3 + z^3) - (3xy(x + y) + 3xyz) $$ Применим формулу суммы кубов к первой группе и вынесем общий множитель $3xy$ из второй группы: $$ (x + y + z)((x + y)^2 - (x + y)z + z^2) - 3xy(x + y + z) $$ Вынесем общий множитель $(x + y + z)$ за скобки: $$ (x + y + z)((x + y)^2 - (x + y)z + z^2 - 3xy) $$ Раскроем скобки во втором множителе: $$ (x + y + z)(x^2 + 2xy + y^2 - xz - yz + z^2 - 3xy) = (x + y + z)(x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx) $$ Умножим и разделим второй множитель на $2$: $$ x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx = \frac{1}{2}(2x^2 + 2y^2 + 2z^2 - 2xy - 2yz - 2zx) $$ Сгруппируем слагаемые в виде полных квадратов: $$ \frac{1}{2}((x^2 - 2xy + y^2) + (y^2 - 2yz + z^2) + (z^2 - 2zx + x^2)) = \frac{1}{2}((x - y)^2 + (y - z)^2 + (z - x)^2) $$ Таким образом, исходное равенство принимает вид: $$ \frac{1}{2}(x + y + z)((x - y)^2 + (y - z)^2 + (z - x)^2) = 0 $$ По условию числа $x$, $y$, $z$ положительны ($x > 0$, $y > 0$, $z > 0$), следовательно: $$ x + y + z > 0 $$ Поскольку множитель $\frac{1}{2}(x + y + z) \neq 0$, равенство возможно тогда и только тогда, когда второй множитель равен нулю: $$ (x - y)^2 + (y - z)^2 + (z - x)^2 = 0 $$ Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен: $(x - y)^2 \ge 0$, $(y - z)^2 \ge 0$, $(z - x)^2 \ge 0$. Сумма трех неотрицательных чисел равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из них равно нулю: $$ \begin{cases} (x - y)^2 = 0 \\ (y - z)^2 = 0 \\ (z - x)^2 = 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x - y = 0 \\ y - z = 0 \\ z - x = 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x = y \\ y = z \\ z = x \end{cases} $$ Отсюда следует, что $x = y = z$. Если же $x = y = z$, то: $x^3 + y^3 + z^3 = x^3 + x^3 + x^3 = 3x^3$, $3xyz = 3 \cdot x \cdot x \cdot x = 3x^3$, то есть равенство $x^3 + y^3 + z^3 = 3xyz$ является верным. Следовательно, равенство выполняется тогда и только тогда, когда $x = y = z$, что и требовалось доказать.