ГДЗ по алгебре 7 класс Колягин Базовый уровень упражнение - 846

1) $a^4 + 2a^2 - 3$ Представим слагаемое $2a^2$ в виде разности $3a^2 - a^2$ и применим метод группировки: $$ a^4 + 2a^2 - 3 = a^4 + 3a^2 - a^2 - 3 $$ Сгруппируем первое слагаемое со вторым, а третье — с четвёртым: $$ (a^4 + 3a^2) - (a^2 + 3) = a^2(a^2 + 3) - 1 \cdot (a^2 + 3) $$ Вынесем общий множитель $(a^2 + 3)$ за скобки: $$ (a^2 + 3)(a^2 - 1) $$ Применим формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$ к выражению $(a^2 - 1)$: $$ (a^2 + 3)(a - 1)(a + 1) $$ Ответ: $(a - 1)(a + 1)(a^2 + 3)$. 2) $a^4 + 4$ Применим метод выделения полного квадрата: прибавим и вычтем выражение $4a^2$: $$ a^4 + 4 = a^4 + 4a^2 + 4 - 4a^2 $$ Первые три слагаемых свернём по формуле квадрата суммы $(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$: $$ (a^2 + 2)^2 - 4a^2 = (a^2 + 2)^2 - (2a)^2 $$ Разложим полученное выражение как разность квадратов: $$ (a^2 + 2 - 2a)(a^2 + 2 + 2a) = (a^2 - 2a + 2)(a^2 + 2a + 2) $$ Ответ: $(a^2 - 2a + 2)(a^2 + 2a + 2)$. 3) $a^5 + a^2 - a - 1$ Сгруппируем первое слагаемое с третьим, а второе — с четвёртым: $$ (a^5 - a) + (a^2 - 1) = a(a^4 - 1) + (a^2 - 1) $$ Разложим $a^4 - 1$ по формуле разности квадратов как $(a^2 - 1)(a^2 + 1)$: $$ a(a^2 - 1)(a^2 + 1) + (a^2 - 1) $$ Вынесем общий множитель $(a^2 - 1)$ за скобки: $$ (a^2 - 1)(a(a^2 + 1) + 1) = (a^2 - 1)(a^3 + a + 1) $$ Разложим множитель $(a^2 - 1)$ по формуле разности квадратов: $$ (a - 1)(a + 1)(a^3 + a + 1) $$ Ответ: $(a - 1)(a + 1)(a^3 + a + 1)$. 4) $a^4 - a^3 - 5a^2 - a - 6$ Представим слагаемое $-5a^2$ в виде $-6a^2 + a^2$: $$ a^4 - a^3 - 6a^2 + a^2 - a - 6 $$ Сгруппируем первые три слагаемых и последние три слагаемых: $$ (a^4 - a^3 - 6a^2) + (a^2 - a - 6) $$ Вынесем $a^2$ из первой скобки: $$ a^2(a^2 - a - 6) + (a^2 - a - 6) = (a^2 - a - 6)(a^2 + 1) $$ Разложим на множители трёхчлен $a^2 - a - 6$, представив слагаемое $-a$ как $-3a + 2a$: $$ a^2 - a - 6 = a^2 - 3a + 2a - 6 = a(a - 3) + 2(a - 3) = (a - 3)(a + 2) $$ Подставим полученное разложение: $$ (a - 3)(a + 2)(a^2 + 1) $$ Ответ: $(a - 3)(a + 2)(a^2 + 1)$.