ГДЗ по алгебре 7 класс Колягин Базовый уровень упражнение - 845

1) $a^3 + 2a^2 - 3$ Представим число $-3$ в виде разности $-1 - 2$ и сгруппируем слагаемые: $$ a^3 + 2a^2 - 3 = (a^3 - 1) + (2a^2 - 2) $$ Применим формулу разности кубов $a^3 - 1 = (a - 1)(a^2 + a + 1)$ и вынесем общий множитель $2$ во второй группе: $$ = (a - 1)(a^2 + a + 1) + 2(a^2 - 1) $$ Разложим разность квадратов $a^2 - 1 = (a - 1)(a + 1)$: $$ = (a - 1)(a^2 + a + 1) + 2(a - 1)(a + 1) $$ Вынесем общий множитель $(a - 1)$ за скобки и приведем подобные слагаемые: $$ = (a - 1)(a^2 + a + 1 + 2(a + 1)) = (a - 1)(a^2 + a + 1 + 2a + 2) = (a - 1)(a^2 + 3a + 3) $$ Ответ: $(a - 1)(a^2 + 3a + 3)$. --- 2) $a^3 + a^2 + 4$ Представим число $4$ как $8 - 4$ и сгруппируем слагаемые: $$ a^3 + a^2 + 4 = (a^3 + 8) + (a^2 - 4) $$ Используем формулу суммы кубов $a^3 + 8 = a^3 + 2^3 = (a + 2)(a^2 - 2a + 4)$ и формулу разности квадратов $a^2 - 4 = (a - 2)(a + 2)$: $$ = (a + 2)(a^2 - 2a + 4) + (a + 2)(a - 2) $$ Вынесем общий множитель $(a + 2)$ за скобки: $$ = (a + 2)(a^2 - 2a + 4 + a - 2) = (a + 2)(a^2 - a + 2) $$ Ответ: $(a + 2)(a^2 - a + 2)$. --- 3) $a^5 + a + 1$ Прибавим и вычтем $a^2$, затем сгруппируем слагаемые: $$ a^5 + a + 1 = a^5 - a^2 + a^2 + a + 1 = (a^5 - a^2) + (a^2 + a + 1) $$ В первой скобке вынесем общий множитель $a^2$: $$ = a^2(a^3 - 1) + (a^2 + a + 1) $$ Применим формулу разности кубов $a^3 - 1 = (a - 1)(a^2 + a + 1)$: $$ = a^2(a - 1)(a^2 + a + 1) + (a^2 + a + 1) $$ Вынесем общий множитель $(a^2 + a + 1)$ за скобки: $$ = (a^2 + a + 1)(a^2(a - 1) + 1) = (a^2 + a + 1)(a^3 - a^2 + 1) $$ Ответ: $(a^2 + a + 1)(a^3 - a^2 + 1)$. --- 4) $a^3 - 6a^2 - a + 30$ Разложим слагаемые $-6a^2$ и $-a$ так, чтобы применить способ группировки: $-6a^2 = -5a^2 - a^2$, а $-a = 5a - 6a$. $$ a^3 - 6a^2 - a + 30 = a^3 - 5a^2 - a^2 + 5a - 6a + 30 $$ Сгруппируем слагаемые по парам: $$ = (a^3 - 5a^2) - (a^2 - 5a) - (6a - 30) $$ Вынесем общие множители из каждой группы: $$ = a^2(a - 5) - a(a - 5) - 6(a - 5) $$ Вынесем общий множитель $(a - 5)$ за скобки: $$ = (a - 5)(a^2 - a - 6) $$ Разложим трехчлен $a^2 - a - 6$ на множители, представив $-a$ как $-3a + 2a$: $$ a^2 - a - 6 = a^2 - 3a + 2a - 6 = a(a - 3) + 2(a - 3) = (a - 3)(a + 2) $$ Подставим полученное произведение: $$ (a - 5)(a^2 - a - 6) = (a - 5)(a - 3)(a + 2) $$ Ответ: $(a + 2)(a - 3)(a - 5)$.