ГДЗ по алгебре 7 класс Колягин Базовый уровень упражнение - 844

Перенесём все слагаемые исходного равенства в левую часть: $$ x^2 + y^2 + z^2 - xy - xz - yz = 0 $$ Умножим обе части уравнения на $2$: $$ 2x^2 + 2y^2 + 2z^2 - 2xy - 2xz - 2yz = 0 $$ Представим слагаемые $2x^2 = x^2 + x^2$, $2y^2 = y^2 + y^2$, $2z^2 = z^2 + z^2$ и сгруппируем их: $$ (x^2 - 2xy + y^2) + (y^2 - 2yz + z^2) + (x^2 - 2xz + z^2) = 0 $$ Применим формулу квадрата разности $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$: $$ (x - y)^2 + (y - z)^2 + (x - z)^2 = 0 $$ Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, то: $(x - y)^2 \ge 0$, $(y - z)^2 \ge 0$ и $(x - z)^2 \ge 0$. Сумма неотрицательных слагаемых равна нулю тогда и только тогда, когда каждое слагаемое одновременно равно нулю: $$ \begin{cases} (x - y)^2 = 0 \\ (y - z)^2 = 0 \\ (x - z)^2 = 0 \end{cases} $$ Отсюда получаем: $$ \begin{cases} x - y = 0 \\ y - z = 0 \\ x - z = 0 \end{cases} $$ $$ \begin{cases} x = y \\ y = z \\ x = z \end{cases} $$ Значит, равенство выполняется только при $x = y = z$. Если же $x = y = z$, то: Левая часть: $x^2 + x^2 + x^2 = 3x^2$. Правая часть: $x \cdot x + x \cdot x + x \cdot x = 3x^2$. $3x^2 = 3x^2$ — равенство верно. Таким образом, равенство $x^2 + y^2 + z^2 = xy + xz + yz$ верно только тогда, когда $x = y = z$, что и требовалось доказать.