ГДЗ по алгебре 7 класс Колягин Базовый уровень упражнение - 820

Пусть исходное целое число равно $n$. По условию при делении на $9$ число $n$ может давать в остатке $1$ или $8$. Рассмотрим оба случая. **Случай 1.** Число при делении на $9$ даёт в остатке $1$. Тогда его можно представить в виде: $n = 9k + 1$, где $k$ — целое неотрицательное число. Возведём число $n$ в квадрат, используя формулу квадрата суммы $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$: $$ n^2 = (9k + 1)^2 = (9k)^2 + 2 \cdot 9k \cdot 1 + 1^2 = 81k^2 + 18k + 1 $$ Вынесем общий множитель $9$ за скобки у первых двух слагаемых: $$ n^2 = 9(9k^2 + 2k) + 1 $$ Так как $k$ — целое число, то выражение $9k^2 + 2k$ также является целым числом. Следовательно, при делении числа $n^2$ на $9$ получается остаток $1$. --- **Случай 2.** Число при делении на $9$ даёт в остатке $8$. Тогда его можно представить в виде: $n = 9k + 8$, где $k$ — целое неотрицательное число. Возведём число $n$ в квадрат: $$ n^2 = (9k + 8)^2 = (9k)^2 + 2 \cdot 9k \cdot 8 + 8^2 = 81k^2 + 144k + 64 $$ Представим число $64$ в виде суммы $63 + 1$, где $63$ делится на $9$: $$ n^2 = 81k^2 + 144k + 63 + 1 $$ Вынесем общий множитель $9$ за скобки у первых трёх слагаемых: $$ n^2 = 9(9k^2 + 16k + 7) + 1 $$ Так как $k$ — целое число, то выражение $9k^2 + 16k + 7$ также является целым числом. Следовательно, при делении числа $n^2$ на $9$ получается остаток $1$. В обоих случаях квадрат числа при делении на $9$ даёт в остатке $1$, что и требовалось доказать.