ГДЗ по алгебре 7 класс Колягин Базовый уровень упражнение - 723

Дано линейное уравнение с двумя неизвестными: $-x - y = 4$ Для системы двух линейных уравнений вида: $$ \begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases} $$ число решений зависит от соотношения коэффициентов: - единственное решение, если $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$; - бесконечно много решений, если $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$; - нет решений, если $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$. В данном уравнении $a_1 = -1$, $b_1 = -1$, $c_1 = 4$. 1) Чтобы система имела **единственное решение**, коэффициенты при неизвестных $x$ и $y$ не должны быть пропорциональны: $$ \frac{-1}{a_2} \neq \frac{-1}{b_2} $$ Составим уравнение, например, $x - y = 1$ (здесь $a_2 = 1$, $b_2 = -1$). Проверим соотношение: $$ \frac{-1}{1} \neq \frac{-1}{-1} \quad (-1 \neq 1) $$ Условие выполнено, прямые пересекаются в одной точке. **Ответ:** $x - y = 1$ (возможны другие варианты, например, $2x + y = 3$). 2) Чтобы система имела **бесконечно много решений**, коэффициенты при неизвестных и свободные члены должны быть пропорциональны: $$ \frac{-1}{a_2} = \frac{-1}{b_2} = \frac{4}{c_2} $$ Для этого умножим обе части исходного уравнения на одно и то же число, отличное от нуля. Умножим на $-1$: $(-1) \cdot (-x - y) = (-1) \cdot 4$ $x + y = -4$ Проверим соотношение: $$ \frac{-1}{1} = \frac{-1}{1} = \frac{4}{-4} = -1 $$ Уравнения задают одну и ту же прямую, поэтому система имеет бесконечно много решений. **Ответ:** $x + y = -4$ (или, например, $-2x - 2y = 8$). 3) Чтобы система **не имела решений**, коэффициенты при неизвестных должны быть пропорциональны, а свободные члены — нет: $$ \frac{-1}{a_2} = \frac{-1}{b_2} \neq \frac{4}{c_2} $$ Возьмем такую же левую часть, как в исходном уравнении, но изменим свободный член в правой части, например: $-x - y = 1$ Проверим соотношение: $$ \frac{-1}{-1} = \frac{-1}{-1} \neq \frac{4}{1} \quad (1 = 1 \neq 4) $$ Прямые параллельны и не совпадают, следовательно, система не имеет решений. **Ответ:** $-x - y = 1$ (или, например, $x + y = 0$).