ГДЗ по алгебре 7 класс Колягин Базовый уровень упражнение - 536

1) $(a+b)^3 - (a-b)^3 - 8b^3$ Применим формулу разности кубов $x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$ к первым двум слагаемым, где $x = a + b$, $y = a - b$: $$ (a+b)^3 - (a-b)^3 = ((a+b) - (a-b))((a+b)^2 + (a+b)(a-b) + (a-b)^2) $$ Упростим выражение в каждой из скобок: $$ (a + b - a + b)(a^2 + 2ab + b^2 + a^2 - b^2 + a^2 - 2ab + b^2) = 2b(3a^2 + b^2) = 6a^2b + 2b^3 $$ Подставим полученный результат в исходное выражение: $$ 6a^2b + 2b^3 - 8b^3 = 6a^2b - 6b^3 $$ Вынесем общий множитель $6b$ за скобки и применим формулу разности квадратов: $$ 6b(a^2 - b^2) = 6b(a - b)(a + b) $$ **Ответ:** $6b(a - b)(a + b)$. --- 2) $(a^2 + b^2)^2 - (a^2 - b^2)^2 - a^2$ Разложим разность первых двух квадратов по формуле $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$: $$ ((a^2 + b^2) - (a^2 - b^2))((a^2 + b^2) + (a^2 - b^2)) - a^2 $$ Приведем подобные слагаемые внутри скобок: $$ (a^2 + b^2 - a^2 + b^2)(a^2 + b^2 + a^2 - b^2) - a^2 = 2b^2 \cdot 2a^2 - a^2 = 4a^2b^2 - a^2 $$ Вынесем общий множитель $a^2$ за скобки: $$ a^2(4b^2 - 1) $$ Разложим выражение в скобках по формуле разности квадратов: $$ a^2((2b)^2 - 1^2) = a^2(2b - 1)(2b + 1) $$ **Ответ:** $a^2(2b - 1)(2b + 1)$. --- 3) $(a^4 + b^4)^2 - (a^4 - b^4)^2 - a^2b^2$ Применим формулу разности квадратов к первому и второму слагаемым: $$ ((a^4 + b^4) - (a^4 - b^4))((a^4 + b^4) + (a^4 - b^4)) - a^2b^2 $$ Упростим выражения в скобках: $$ (a^4 + b^4 - a^4 + b^4)(a^4 + b^4 + a^4 - b^4) - a^2b^2 = 2b^4 \cdot 2a^4 - a^2b^2 = 4a^4b^4 - a^2b^2 $$ Вынесем общий множитель $a^2b^2$ за скобки: $$ a^2b^2(4a^2b^2 - 1) $$ Применим формулу разности квадратов к выражению в скобках: $$ a^2b^2((2ab)^2 - 1^2) = a^2b^2(2ab - 1)(2ab + 1) $$ **Ответ:** $a^2b^2(2ab - 1)(2ab + 1)$. --- 4) $9a^4 - 13a^2b^2 + 4b^4$ Представим средний член $-13a^2b^2$ в виде суммы $-9a^2b^2 - 4a^2b^2$: $$ 9a^4 - 9a^2b^2 - 4a^2b^2 + 4b^4 $$ Сгруппируем слагаемые попарно: $$ (9a^4 - 9a^2b^2) - (4a^2b^2 - 4b^4) $$ Вынесем общие множители из каждой группы: $$ 9a^2(a^2 - b^2) - 4b^2(a^2 - b^2) $$ Вынесем общий двучлен $(a^2 - b^2)$ за скобки: $$ (a^2 - b^2)(9a^2 - 4b^2) $$ Разложим каждый из множителей по формуле разности квадратов: $$ (a - b)(a + b)((3a)^2 - (2b)^2) = (a - b)(a + b)(3a - 2b)(3a + 2b) $$ **Ответ:** $(a - b)(a + b)(3a - 2b)(3a + 2b)$.