ГДЗ по алгебре 7 класс Колягин Базовый уровень упражнение - 535

Для доказательства воспользуемся формулой разности квадратов: $$ a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) $$ Применим эту формулу к данному выражению, где $a = 7n + 1$, а $b = 2n - 4$: $$ (7n + 1)^2 - (2n - 4)^2 = ((7n + 1) - (2n - 4))((7n + 1) + (2n - 4)) $$ Раскроем внутренние скобки: $$ = (7n + 1 - 2n + 4)(7n + 1 + 2n - 4) $$ Приведём подобные слагаемые в каждой скобке: $$ = (5n + 5)(9n - 3) $$ Вынесем общий множитель $5$ из первой скобки и общий множитель $3$ из второй скобки: $$ = 5(n + 1) \cdot 3(3n - 1) = 15(n + 1)(3n - 1) $$ Так как $n$ — натуральное число, выражения $(n + 1)$ и $(3n - 1)$ принимают целые значения, а один из множителей полученного произведения равен $15$. Следовательно, при любом натуральном $n$ значение выражения делится на $15$, что и требовалось доказать.