ГДЗ по алгебре 7 класс Колягин Базовый уровень упражнение - 517

1) Разложим многочлен $a^3 + 2a^2 - 3$ на множители. Представим слагаемое $2a^2$ в виде $-a^2 + 3a^2$: $$ a^3 + 2a^2 - 3 = a^3 - a^2 + 3a^2 - 3 $$ Сгруппируем слагаемые парами: $$ (a^3 - a^2) + (3a^2 - 3) = a^2(a - 1) + 3(a^2 - 1) $$ Применим формулу разности квадратов $a^2 - 1 = (a - 1)(a + 1)$: $$ a^2(a - 1) + 3(a - 1)(a + 1) $$ Вынесем общий множитель $(a - 1)$ за скобки: $$ (a - 1)(a^2 + 3(a + 1)) = (a - 1)(a^2 + 3a + 3) $$ Ответ: $(a - 1)(a^2 + 3a + 3)$. 2) Разложим многочлен $x^3 - 7x + 6$ на множители. Представим слагаемое $-7x$ в виде $-x - 6x$: $$ x^3 - 7x + 6 = x^3 - x - 6x + 6 $$ Сгруппируем слагаемые: $$ (x^3 - x) - (6x - 6) = x(x^2 - 1) - 6(x - 1) $$ Используем формулу разности квадратов $x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$: $$ x(x - 1)(x + 1) - 6(x - 1) $$ Вынесем общий множитель $(x - 1)$ за скобки: $$ (x - 1)(x(x + 1) - 6) = (x - 1)(x^2 + x - 6) $$ Разложим квадратный трёхчлен $x^2 + x - 6$, представив $x$ как $3x - 2x$: $$ x^2 + 3x - 2x - 6 = x(x + 3) - 2(x + 3) = (x + 3)(x - 2) $$ Подставим полученное разложение: $$ (x - 1)(x - 2)(x + 3) $$ Ответ: $(x - 1)(x - 2)(x + 3)$. 3) Разложим многочлен $a^4 + 2a^3 + 1$ на множители. Представим слагаемое $2a^3$ как $a^3 + a^3$: $$ a^4 + 2a^3 + 1 = a^4 + a^3 + a^3 + 1 $$ Сгруппируем слагаемые: $$ (a^4 + a^3) + (a^3 + 1) $$ В первой группе вынесем за скобки общий множитель $a^3$, а ко второй применим формулу суммы кубов $a^3 + 1 = (a + 1)(a^2 - a + 1)$: $$ a^3(a + 1) + (a + 1)(a^2 - a + 1) $$ Вынесем общий множитель $(a + 1)$ за скобки: $$ (a + 1)(a^3 + a^2 - a + 1) $$ Ответ: $(a + 1)(a^3 + a^2 - a + 1)$. 4) Разложим многочлен $2a^4 - a^2 - 1$ на множители. Представим слагаемое $-a^2$ в виде $-2a^2 + a^2$: $$ 2a^4 - a^2 - 1 = 2a^4 - 2a^2 + a^2 - 1 $$ Сгруппируем слагаемые: $$ (2a^4 - 2a^2) + (a^2 - 1) = 2a^2(a^2 - 1) + (a^2 - 1) $$ Вынесем общий множитель $(a^2 - 1)$ за скобки: $$ (a^2 - 1)(2a^2 + 1) $$ Разложим множитель $(a^2 - 1)$ по формуле разности квадратов: $$ (a - 1)(a + 1)(2a^2 + 1) $$ Ответ: $(a - 1)(a + 1)(2a^2 + 1)$.