ГДЗ по алгебре 7 класс Колягин Базовый уровень упражнение - 368

**1)** Сгруппируем первые два множителя с одинаковым показателем степени, используя свойство $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$, а смешанную дробь переведём в неправильную: $$ 1\frac{3}{5} = \frac{1 \cdot 5 + 3}{5} = \frac{8}{5} $$ $$ \left(\frac{35}{48}\right)^3 \cdot \left(\frac{6}{7}\right)^3 \cdot \left(1\frac{3}{5}\right)^2 = \left(\frac{35}{48} \cdot \frac{6}{7}\right)^3 \cdot \left(\frac{8}{5}\right)^2 $$ Сократим дробь внутри скобок: $35$ и $7$ делятся на $7$, а $6$ и $48$ делятся на $6$: $$ \frac{35 \cdot 6}{48 \cdot 7} = \frac{5 \cdot 1}{8 \cdot 1} = \frac{5}{8} $$ Подставим полученное значение и применим свойство степени дроби: $$ \left(\frac{5}{8}\right)^3 \cdot \left(\frac{8}{5}\right)^2 = \frac{5^3}{8^3} \cdot \frac{8^2}{5^2} = \frac{5^3 \cdot 8^2}{8^3 \cdot 5^2} = \frac{5^{3-2}}{8^{3-2}} = \frac{5}{8} $$ Ответ: $\frac{5}{8}$. --- **2)** Объединим первые два множителя под одну степень, а десятичную дробь представим в виде обыкновенной дроби: $$ 2,5 = \frac{25}{10} = \frac{5}{2} $$ $$ \left(\frac{14}{15}\right)^4 \cdot \left(\frac{3}{7}\right)^4 \cdot (2,5)^3 = \left(\frac{14}{15} \cdot \frac{3}{7}\right)^4 \cdot \left(\frac{5}{2}\right)^3 $$ Сократим дробь в скобках: $14$ и $7$ делятся на $7$, $3$ и $15$ делятся на $3$: $$ \frac{14 \cdot 3}{15 \cdot 7} = \frac{2 \cdot 1}{5 \cdot 1} = \frac{2}{5} $$ Выполним умножение степеней: $$ \left(\frac{2}{5}\right)^4 \cdot \left(\frac{5}{2}\right)^3 = \frac{2^4}{5^4} \cdot \frac{5^3}{2^3} = \frac{2^4 \cdot 5^3}{5^4 \cdot 2^3} = \frac{2^{4-3}}{5^{4-3}} = \frac{2}{5} = 0,4 $$ Ответ: $\frac{2}{5}$ (или $0,4$). --- **3)** Используем свойства возведения степени в степень $((a^n)^m = a^{n \cdot m})$ и степени дроби: $$ \left(\frac{5^3}{6^2}\right)^4 = \frac{(5^3)^4}{(6^2)^4} = \frac{5^{12}}{6^8} $$ Представим основание $6$ как произведение простых множителей: $6 = 2 \cdot 3$, тогда $6^8 = (2 \cdot 3)^8 = 2^8 \cdot 3^8$. Запишем все множители в виде единой дроби: $$ \left(\frac{5^3}{6^2}\right)^4 \cdot \left(\frac{2}{5}\right)^5 \cdot \left(\frac{3}{5}\right)^7 = \frac{5^{12}}{2^8 \cdot 3^8} \cdot \frac{2^5}{5^5} \cdot \frac{3^7}{5^7} = \frac{5^{12} \cdot 2^5 \cdot 3^7}{2^8 \cdot 3^8 \cdot 5^{5+7}} $$ Упростим выражение: $$ \frac{5^{12} \cdot 2^5 \cdot 3^7}{2^8 \cdot 3^8 \cdot 5^{12}} = \frac{2^5 \cdot 3^7}{2^8 \cdot 3^8} = \frac{1}{2^{8-5} \cdot 3^{8-7}} = \frac{1}{2^3 \cdot 3^1} = \frac{1}{8 \cdot 3} = \frac{1}{24} $$ Ответ: $\frac{1}{24}$. --- **4)** Возведём первую дробь в третью степень: $$ \left(\frac{7^4}{15^2}\right)^3 = \frac{(7^4)^3}{(15^2)^3} = \frac{7^{12}}{15^6} $$ Разложим основание $15$ на множители: $15 = 3 \cdot 5$, откуда $15^6 = (3 \cdot 5)^6 = 3^6 \cdot 5^6$. Запишем произведение в виде одной дроби: $$ \left(\frac{7^4}{15^2}\right)^3 \cdot \left(\frac{5}{7}\right)^6 \cdot \left(\frac{3}{7}\right)^5 = \frac{7^{12}}{3^6 \cdot 5^6} \cdot \frac{5^6}{7^6} \cdot \frac{3^5}{7^5} = \frac{7^{12} \cdot 5^6 \cdot 3^5}{3^6 \cdot 5^6 \cdot 7^{6+5}} $$ Сократим одинаковые множители и применим свойство деления степеней с одинаковым основанием: $$ \frac{7^{12} \cdot 5^6 \cdot 3^5}{3^6 \cdot 5^6 \cdot 7^{11}} = \frac{7^{12} \cdot 3^5}{3^6 \cdot 7^{11}} = \frac{7^{12-11}}{3^{6-5}} = \frac{7^1}{3^1} = \frac{7}{3} = 2\frac{1}{3} $$ Ответ: $2\frac{1}{3}$.