ГДЗ по алгебре 7 класс Колягин Базовый уровень нужно вспомнить - §27

### 1. Переместительный и сочетательный законы сложения и умножения; распределительный закон умножения **Переместительный закон:** - Сложение: от перемены мест слагаемых сумма не меняется. $$ a + b = b + a $$ - Умножение: от перемены мест множителей произведение не меняется. $$ ab = ba $$ **Сочетательный закон:** - Сложение: чтобы к сумме двух чисел прибавить третье число, можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего чисел. $$ (a + b) + c = a + (b + c) $$ - Умножение: чтобы произведение двух чисел умножить на третье число, можно первое число умножить на произведение второго и третьего чисел. $$ (ab)c = a(bc) $$ **Распределительный закон умножения относительно сложения (и вычитания):** - Чтобы умножить число на сумму, можно умножить это число на каждое слагаемое и полученные результаты сложить: $$ a(b + c) = ab + ac $$ $$ a(b - c) = ab - ac $$ --- ### 2. Деление одночлена и многочлена на одночлен **Деление одночлена на одночлен:** - Чтобы разделить одночлен на одночлен, делят числовой коэффициент делимого на числовой коэффициент делителя, а к степеням с одинаковыми основаниями применяют правило деления степеней (показатели вычитаются): $$ a^m : a^n = a^{m - n} \quad (a \neq 0, \; m \ge n) $$ *Пример:* $$ 12a^5b^3 : (3a^2b) = (12 : 3) \cdot (a^5 : a^2) \cdot (b^3 : b) = 4a^3b^2 $$ **Деление многочлена на одночлен:** - Чтобы разделить многочлен на одночлен, нужно каждый член многочлена разделить на этот одночлен и полученные результаты сложить: $$ (a + b - c) : m = a : m + b : m - c : m \quad (m \neq 0) $$ *Пример:* $$ (6x^3 - 9x^2 + 3x) : (3x) = 6x^3 : (3x) - 9x^2 : (3x) + 3x : (3x) = 2x^2 - 3x + 1 $$ --- ### 3. Вынесение общего множителя за скобки - Вынесение общего множителя за скобки представляет собой применение распределительного закона умножения в обратном порядке: $$ ab + ac = a(b + c) $$ **Правило:** 1. Находят наибольший общий делитель (НОД) коэффициентов всех членов многочлена. 2. Определяют общую буквенную часть (каждую переменную берут с наименьшим показателем степени, с которым она входит в члены многочлена). 3. Произведение коэффициента и буквенной части выносят за скобки. 4. В скобках записывают результат деления каждого слагаемого на вынесенный общий множитель. *Пример:* $$ 6a^2b + 9ab^2 = 3ab(2a + 3b) $$ --- ### 4. Приведение подобных членов - **Подобные члены (слагаемые)** — это слагаемые, имеющие одинаковую буквенную часть (или не имеющие её вовсе). - Чтобы **привести подобные члены**, нужно сложить их числовые коэффициенты и результат умножить на общую буквенную часть. *Пример:* $$ 7x - 2y - 4x + 5y = (7 - 4)x + (-2 + 5)y = 3x + 3y $$ --- ### 5. Решение линейных уравнений с одним неизвестным - Линейным уравнением с одним неизвестным называется уравнение вида $ax = b$, где $a$ и $b$ — числа, а $x$ — неизвестная переменная. **Алгоритм решения:** 1. Раскрыть скобки, если они есть. 2. Перенести члены, содержащие неизвестное, в одну часть уравнения (обычно в левую), а свободные члены (числа) — в другую (в правую), меняя знаки переносимых слагаемых на противоположные. 3. Привести подобные члены в обеих частях уравнения (привести уравнение к виду $ax = b$). 4. Найти корень уравнения: - если $a \neq 0$, то $x = \dfrac{b}{a}$ (единственный корень); - если $a = 0$ и $b = 0$, то уравнение $0x = 0$ имеет бесконечно много корней (любое число является корнем); - если $a = 0$ и $b \neq 0$, то уравнение $0x = b$ не имеет корней. *Пример:* $$ 4(x - 2) = 2x + 6 $$ $$ 4x - 8 = 2x + 6 $$ $$ 4x - 2x = 6 + 8 $$ $$ 2x = 14 $$ $$ x = 7 $$ --- ### 6. Условие равенства нулю произведения двух и более чисел - Произведение двух или более множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другие при этом имеют смысл: $$ a \cdot b = 0 \iff a = 0 \quad \text{или} \quad b = 0 $$ *Пример:* $$ (x - 4)(x + 5) = 0 $$ $$ x - 4 = 0 \quad \text{или} \quad x + 5 = 0 $$ $$ x = 4 \quad \text{или} \quad x = -5 $$