ГДЗ по алгебре 7 класс Колягин Базовый уровень нужно вспомнить - §26

**1. Переместительный и распределительный законы умножения** * Переместительный закон умножения: от перемены мест множителей произведение не меняется. Для любых чисел $a$ и $b$: $$ a \cdot b = b \cdot a $$ * Распределительный закон умножения относительно сложения (и вычитания): чтобы умножить число на сумму (или разность), можно умножить это число на каждое слагаемое и полученные произведения сложить (или вычесть). Для любых чисел $a$, $b$ и $c$: $$ a(b + c) = ab + ac $$ $$ a(b - c) = ab - ac $$ --- **2. Умножение одночлена на одночлен; на многочлен** * Чтобы умножить одночлен на одночлен, нужно перемножить их числовые коэффициенты, а затем перемножить степени с одинаковыми основаниями (показатели степеней одинаковых букв складываются). Например: $$ (3a^2b) \cdot (-2ab^3) = 3 \cdot (-2) \cdot (a^2 \cdot a) \cdot (b \cdot b^3) = -6a^3b^4 $$ * Чтобы умножить одночлен на многочлен, нужно умножить этот одночлен на каждый член многочлена и полученные произведения сложить. Например: $$ 2x(3x^2 - 4x + 1) = 2x \cdot 3x^2 + 2x \cdot (-4x) + 2x \cdot 1 = 6x^3 - 8x^2 + 2x $$ --- **3. Деление одночлена и многочлена на одночлен** * Чтобы разделить одночлен на одночлен, нужно разделить коэффициент делимого на коэффициент делителя, а из показателей степеней делимого вычесть показатели степеней делителя с одинаковыми основаниями (при условии, что делитель не равен нулю и содержит только те переменные, которые есть в делимом, причём в степенях не выше, чем в делимом). Например: $$ (12a^4b^3) : (3a^2b) = (12 : 3) \cdot (a^4 : a^2) \cdot (b^3 : b) = 4a^2b^2 $$ * Чтобы разделить многочлен на одночлен, нужно каждый член многочлена разделить на этот одночлен и полученные результаты сложить. Например: $$ (6x^3 - 9x^2 + 3x) : (3x) = (6x^3 : 3x) - (9x^2 : 3x) + (3x : 3x) = 2x^2 - 3x + 1 $$ --- **4. Свойства степеней (с натуральными показателями)** Для любых чисел $a$, $b$ и натуральных показателей $m$ и $n$: 1. Произведение степеней с одинаковыми основаниями: $$ a^m \cdot a^n = a^{m+n} $$ 2. Частное степеней с одинаковыми основаниями (при $a \neq 0$ и $m > n$): $$ a^m : a^n = a^{m-n} $$ 3. Возведение степени в степень: $$ (a^m)^n = a^{mn} $$ 4. Возведение произведения в степень: $$ (ab)^n = a^n \cdot b^n $$ 5. Возведение дроби в степень (при $b \neq 0$): $$ \left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n} $$ --- **5. Понятие противоположного числа** * Два числа, отличающиеся друг от друга только знаками, называются противоположными числами. * Числом, противоположным числу $a$, является число $-a$. * Сумма двух противоположных чисел равна нулю: $$ a + (-a) = 0 $$ * Число $0$ противоположно самому себе: $-0 = 0$. --- **6. Правила раскрытия скобок и заключения в скобки** * **Раскрытие скобок:** * Если перед скобками стоит знак «$+$» (или нет знака в начале выражения), то скобки опускаются, а все слагаемые внутри скобок сохраняют свои знаки: $$ a + (b - c) = a + b - c $$ * Если перед скобками стоит знак «$-$», то скобки опускаются, а знаки всех слагаемых внутри скобок меняются на противоположные: $$ a - (b - c) = a - b + c $$ * **Заключение в скобки:** * Если перед скобками ставится знак «$+$», то все слагаемые, заключаемые в скобки, записываются со своими знаками. * Если перед скобками ставится знак «$-$», то все слагаемые, заключаемые в скобки, меняют свои знаки на противоположные. --- **7. Представление натурального числа $N$ в виде $N = np + k$** Любое натуральное число $N$ при делении с остатком на натуральное число $n$ можно единственным образом представить в виде: $$ N = np + k $$ где: * $N$ — делимое; * $n$ — делитель; * $p$ — неполное частное (целое неотрицательное число); * $k$ — остаток от деления, удовлетворяющий условию $0 \le k < n$ (если $k = 0$, то число $N$ делится на $n$ нацело).