ГДЗ по алгебре 7 класс Абылкасымова параграф 7 - 7.8

1) Докажем тождество: $$ 27^{-1} \cdot 81^2 \cdot (3^{-3})^3 : 81^{-3} = 9^4 $$ Преобразуем левую часть равенства, представив все числа в виде степеней с основанием $3$: $$ 27^{-1} = (3^3)^{-1} = 3^{-3} $$ $$ 81^2 = (3^4)^2 = 3^{4 \cdot 2} = 3^8 $$ $$ (3^{-3})^3 = 3^{-3 \cdot 3} = 3^{-9} $$ $$ 81^{-3} = (3^4)^{-3} = 3^{4 \cdot (-3)} = 3^{-12} $$ Подставим полученные степени в левую часть и применим свойства умножения и деления степеней с одинаковым основанием: $$ 3^{-3} \cdot 3^8 \cdot 3^{-9} : 3^{-12} = 3^{-3 + 8 + (-9) - (-12)} = 3^{-4 + 12} = 3^8 $$ Преобразуем правую часть: $$ 9^4 = (3^2)^4 = 3^8 $$ Получили: $$ 3^8 = 3^8 $$ Левая часть равна правой. Тождество доказано. --- 2) Докажем тождество: $$ 7^{-2} \cdot 21^2 \cdot (6^{-3})^2 : 14^{-3} : 343 = 2^{-3} \cdot 9^{-2} $$ Разложим основания степеней в левой части на простые множители: $$ 21^2 = (3 \cdot 7)^2 = 3^2 \cdot 7^2 $$ $$ (6^{-3})^2 = 6^{-6} = (2 \cdot 3)^{-6} = 2^{-6} \cdot 3^{-6} $$ $$ 14^{-3} = (2 \cdot 7)^{-3} = 2^{-3} \cdot 7^{-3} $$ $$ 343 = 7^3 $$ Подставим разложения в выражение левой части: $$ 7^{-2} \cdot 3^2 \cdot 7^2 \cdot 2^{-6} \cdot 3^{-6} : (2^{-3} \cdot 7^{-3}) : 7^3 $$ Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями: * для основания $2$: $$ 2^{-6} : 2^{-3} = 2^{-6 - (-3)} = 2^{-3} $$ * для основания $3$: $$ 3^2 \cdot 3^{-6} = 3^{2 + (-6)} = 3^{-4} $$ * для основания $7$: $$ 7^{-2} \cdot 7^2 : 7^{-3} : 7^3 = 7^{-2 + 2 - (-3) - 3} = 7^{0 + 3 - 3} = 7^0 = 1 $$ Перемножим полученные результаты для левой части: $$ 2^{-3} \cdot 3^{-4} \cdot 1 = 2^{-3} \cdot (3^2)^{-2} = 2^{-3} \cdot 9^{-2} $$ Получили: $$ 2^{-3} \cdot 9^{-2} = 2^{-3} \cdot 9^{-2} $$ Левая часть равна правой. Тождество доказано. --- 3) Докажем тождество: $$ 4^{-1} \cdot 8^2 \cdot (a^{-3})^3 : (8a^{-3})^2 = 0,25a^{-3} $$ Преобразуем левую часть выражения: $$ 4^{-1} = \frac{1}{4} = 0,25 $$ $$ (a^{-3})^3 = a^{-3 \cdot 3} = a^{-9} $$ $$ (8a^{-3})^2 = 8^2 \cdot (a^{-3})^2 = 8^2 \cdot a^{-6} $$ Подставим полученные выражения в левую часть: $$ 0,25 \cdot 8^2 \cdot a^{-9} : (8^2 \cdot a^{-6}) = 0,25 \cdot (8^2 : 8^2) \cdot (a^{-9} : a^{-6}) $$ Выполним деление: $$ 8^2 : 8^2 = 1 $$ $$ a^{-9} : a^{-6} = a^{-9 - (-6)} = a^{-9 + 6} = a^{-3} $$ Тогда левая часть равна: $$ 0,25 \cdot 1 \cdot a^{-3} = 0,25a^{-3} $$ Получили: $$ 0,25a^{-3} = 0,25a^{-3} $$ Левая часть равна правой. Тождество доказано. --- 4) Докажем тождество: $$ a^{-1} \cdot (ab)^2 \cdot (b^{-3})^3 : b^{-3} = ab^{-4} $$ Раскроем скобки в левой части, используя свойства степеней: $$ (ab)^2 = a^2 b^2 $$ $$ (b^{-3})^3 = b^{-3 \cdot 3} = b^{-9} $$ Подставим в исходное выражение: $$ a^{-1} \cdot a^2 \cdot b^2 \cdot b^{-9} : b^{-3} $$ Применим правила умножения и деления степеней отдельно для переменной $a$ и переменной $b$: $$ a^{-1} \cdot a^2 = a^{-1 + 2} = a^1 = a $$ $$ b^2 \cdot b^{-9} : b^{-3} = b^{2 + (-9) - (-3)} = b^{-7 + 3} = b^{-4} $$ Перемножим полученные множители: $$ a \cdot b^{-4} = ab^{-4} $$ Получили: $$ ab^{-4} = ab^{-4} $$ Левая часть равна правой. Тождество доказано.