ГДЗ по алгебре 7 класс Абылкасымова параграф 41 - 41.25

**1)** Преобразуем выражение по действиям: $$ \left( \frac{2xb}{x^2 - b^2} + \frac{x - b}{2x + 2b} \right) \cdot \frac{2x}{x + b} + \frac{b}{b - x} $$ 1. Выполним сложение в скобках. Разложим знаменатели на множители: $$ x^2 - b^2 = (x - b)(x + b) $$ $$ 2x + 2b = 2(x + b) $$ Общий знаменатель равен $2(x - b)(x + b)$: $$ \frac{2xb}{(x - b)(x + b)} + \frac{x - b}{2(x + b)} = \frac{2 \cdot 2xb + (x - b)^2}{2(x - b)(x + b)} = \frac{4xb + x^2 - 2xb + b^2}{2(x - b)(x + b)} $$ Приведем подобные слагаемые в числителе и применим формулу квадрата суммы: $$ \frac{x^2 + 2xb + b^2}{2(x - b)(x + b)} = \frac{(x + b)^2}{2(x - b)(x + b)} = \frac{x + b}{2(x - b)} $$ 2. Выполним умножение полученного результата на дробь $\frac{2x}{x + b}$: $$ \frac{x + b}{2(x - b)} \cdot \frac{2x}{x + b} = \frac{(x + b) \cdot 2x}{2(x - b)(x + b)} = \frac{x}{x - b} $$ 3. Выполним сложение с третьей дробью, учитывая, что $b - x = -(x - b)$: $$ \frac{x}{x - b} + \frac{b}{b - x} = \frac{x}{x - b} - \frac{b}{x - b} = \frac{x - b}{x - b} = 1 $$ Значение выражения равно $1$. Так как $1 \ge 0$ и является константой, значение выражения неотрицательно и не зависит от значений переменных $x$ и $b$. Что и требовалось доказать. --- **2)** Преобразуем выражение по действиям: $$ \frac{y}{y - x} + \frac{x^3 - xy^2}{x^2 + y^2} \cdot \left( \frac{x}{(x - y)^2} - \frac{y}{x^2 - y^2} \right) $$ 1. Выполним вычитание дробей в скобках, разложив знаменатель $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$. Общий знаменатель равен $(x - y)^2(x + y)$: $$ \frac{x}{(x - y)^2} - \frac{y}{(x - y)(x + y)} = \frac{x(x + y) - y(x - y)}{(x - y)^2(x + y)} $$ Раскроем скобки в числителе: $$ \frac{x^2 + xy - xy + y^2}{(x - y)^2(x + y)} = \frac{x^2 + y^2}{(x - y)^2(x + y)} $$ 2. Преобразуем множитель перед скобками, вынеся общий множитель $x$ за скобки: $$ \frac{x^3 - xy^2}{x^2 + y^2} = \frac{x(x^2 - y^2)}{x^2 + y^2} = \frac{x(x - y)(x + y)}{x^2 + y^2} $$ 3. Выполним умножение: $$ \frac{x(x - y)(x + y)}{x^2 + y^2} \cdot \frac{x^2 + y^2}{(x - y)^2(x + y)} = \frac{x(x - y)(x + y)(x^2 + y^2)}{(x^2 + y^2)(x - y)^2(x + y)} = \frac{x}{x - y} $$ 4. Прибавим первую дробь, учитывая, что $y - x = -(x - y)$: $$ \frac{y}{y - x} + \frac{x}{x - y} = -\frac{y}{x - y} + \frac{x}{x - y} = \frac{x - y}{x - y} = 1 $$ Значение выражения равно $1$. Так как $1 \ge 0$ и является константой, значение выражения неотрицательно и не зависит от значений переменных $x$ и $y$. Что и требовалось доказать.