ГДЗ по алгебре 7 класс Абылкасымова параграф 41 - 41.23

1) $$ \left( \frac{2ab}{a^2 - b^2} + \frac{a - b}{2a + 2b} \right) \cdot \frac{2a}{a + b} + \frac{b}{b - a} \cdot x = 1 $$ Упростим выражение в скобках. Разложим знаменатели на множители: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ $2a + 2b = 2(a + b)$ Общим знаменателем для дробей в скобках является $2(a - b)(a + b)$. Дополнительный множитель для первой дроби равен $2$, для второй — $(a - b)$: $$ \frac{2ab}{(a - b)(a + b)} + \frac{a - b}{2(a + b)} = \frac{2 \cdot 2ab + (a - b)^2}{2(a - b)(a + b)} = \frac{4ab + a^2 - 2ab + b^2}{2(a - b)(a + b)} $$ Приведем подобные слагаемые в числителе и применим формулу квадрата суммы: $$ \frac{a^2 + 2ab + b^2}{2(a - b)(a + b)} = \frac{(a + b)^2}{2(a - b)(a + b)} = \frac{a + b}{2(a - b)} $$ Выполним умножение на дробь $\frac{2a}{a + b}$: $$ \frac{a + b}{2(a - b)} \cdot \frac{2a}{a + b} = \frac{a}{a - b} $$ Подставим полученный результат в исходное уравнение: $$ \frac{a}{a - b} + \frac{b}{b - a} \cdot x = 1 $$ Учитывая, что $\frac{b}{b - a} = -\frac{b}{a - b}$, перепишем уравнение: $$ \frac{a}{a - b} - \frac{b}{a - b} \cdot x = 1 $$ Выразим слагаемое с переменной $x$: $$ -\frac{b}{a - b} \cdot x = 1 - \frac{a}{a - b} $$ $$ -\frac{b}{a - b} \cdot x = \frac{a - b - a}{a - b} $$ $$ -\frac{b}{a - b} \cdot x = -\frac{b}{a - b} $$ Разделим обе части уравнения на $-\frac{b}{a - b}$ (при $a \neq \pm b$ и $b \neq 0$): $$ x = 1 $$ Ответ: $x = 1$. --- 2) $$ \frac{c}{a - c} - \frac{a^3 - ac^2}{a^2 + c^2} \cdot \left( \frac{a}{(a - c)^2} - \frac{c}{a^2 - c^2} \right) = 2x $$ Упростим выражение в скобках. Разложим знаменатель второй дроби по формуле разности квадратов: $a^2 - c^2 = (a - c)(a + c)$. Общий знаменатель равен $(a - c)^2(a + c)$. Приведем дроби к общему знаменателю: $$ \frac{a}{(a - c)^2} - \frac{c}{(a - c)(a + c)} = \frac{a(a + c) - c(a - c)}{(a - c)^2(a + c)} $$ Раскроем скобки в числителе: $$ \frac{a^2 + ac - ac + c^2}{(a - c)^2(a + c)} = \frac{a^2 + c^2}{(a - c)^2(a + c)} $$ Преобразуем множитель перед скобками, вынеся общий множитель $a$ за скобки в числителе: $$ \frac{a^3 - ac^2}{a^2 + c^2} = \frac{a(a^2 - c^2)}{a^2 + c^2} = \frac{a(a - c)(a + c)}{a^2 + c^2} $$ Выполним умножение: $$ \frac{a(a - c)(a + c)}{a^2 + c^2} \cdot \frac{a^2 + c^2}{(a - c)^2(a + c)} = \frac{a}{a - c} $$ Подставим найденное выражение в уравнение: $$ \frac{c}{a - c} - \frac{a}{a - c} = 2x $$ Выполним вычитание дробей с одинаковыми знаменателями в левой части: $$ \frac{c - a}{a - c} = 2x $$ Так как $c - a = -(a - c)$, сократим дробь: $$ \frac{-(a - c)}{a - c} = 2x $$ $$ -1 = 2x $$ Найдем неизвестный множитель $x$: $$ x = -\frac{1}{2} $$ Ответ: $x = -0{,}5$.