ГДЗ по алгебре 7 класс Абылкасымова параграф 41 - 41.24

**1)** Упростим выражение по действиям: $$\left(\frac{1}{a - c} - \frac{3c^2}{a^3 - c^3} - \frac{c}{a^2 + ac + c^2}\right) \cdot \left(c + \frac{a^2}{a + c}\right)$$ 1. Выполним вычитание дробей в первой скобке. Разложим знаменатель уменьшаемого по формуле разности кубов: $a^3 - c^3 = (a - c)(a^2 + ac + c^2)$. Общий знаменатель равен $(a - c)(a^2 + ac + c^2)$: $$\frac{1}{a - c} - \frac{3c^2}{a^3 - c^3} - \frac{c}{a^2 + ac + c^2} = \frac{1 \cdot (a^2 + ac + c^2) - 3c^2 - c \cdot (a - c)}{(a - c)(a^2 + ac + c^2)}$$ Раскроем скобки в числителе и приведём подобные слагаемые: $$\frac{a^2 + ac + c^2 - 3c^2 - ac + c^2}{(a - c)(a^2 + ac + c^2)} = \frac{a^2 - c^2}{(a - c)(a^2 + ac + c^2)}$$ Разложим числитель по формуле разности квадратов и сократим дробь на $(a - c)$: $$\frac{(a - c)(a + c)}{(a - c)(a^2 + ac + c^2)} = \frac{a + c}{a^2 + ac + c^2}$$ 2. Выполним сложение во второй скобке: $$c + \frac{a^2}{a + c} = \frac{c(a + c) + a^2}{a + c} = \frac{ac + c^2 + a^2}{a + c} = \frac{a^2 + ac + c^2}{a + c}$$ 3. Перемножим полученные результаты: $$\frac{a + c}{a^2 + ac + c^2} \cdot \frac{a^2 + ac + c^2}{a + c} = 1$$ Значение выражения равно $1$ и не зависит от значений $a$ и $c$ при всех допустимых значениях переменных, что и требовалось доказать. --- **2)** Упростим выражение: $$3a \cdot \left(\frac{1}{a - c} - \frac{c}{a^3 - c^3} \cdot \frac{a^2 + ac + c^2}{a + c}\right) - \frac{3c^2}{a^2 - c^2}$$ 1. Выполним умножение внутри скобок, используя формулу $a^3 - c^3 = (a - c)(a^2 + ac + c^2)$: $$\frac{c}{a^3 - c^3} \cdot \frac{a^2 + ac + c^2}{a + c} = \frac{c \cdot (a^2 + ac + c^2)}{(a - c)(a^2 + ac + c^2)(a + c)} = \frac{c}{(a - c)(a + c)}$$ 2. Выполним вычитание в скобках, приведя дроби к общему знаменателю $(a - c)(a + c)$: $$\frac{1}{a - c} - \frac{c}{(a - c)(a + c)} = \frac{1 \cdot (a + c) - c}{(a - c)(a + c)} = \frac{a + c - c}{(a - c)(a + c)} = \frac{a}{(a - c)(a + c)} = \frac{a}{a^2 - c^2}$$ 3. Умножим полученную дробь на $3a$: $$3a \cdot \frac{a}{a^2 - c^2} = \frac{3a^2}{a^2 - c^2}$$ 4. Выполним последнее вычитание: $$\frac{3a^2}{a^2 - c^2} - \frac{3c^2}{a^2 - c^2} = \frac{3a^2 - 3c^2}{a^2 - c^2} = \frac{3(a^2 - c^2)}{a^2 - c^2} = 3$$ Значение выражения равно $3$ и не зависит от значений $a$ и $c$ при всех допустимых значениях переменных, что и требовалось доказать.