ГДЗ по алгебре 7 класс Абылкасымова параграф 40 - 40.16

**1)** Докажем тождество: $$ \frac{a^2 + ax + x^2}{x - 1} : \frac{a^3 - x^3}{x^2 - 1} = \frac{x + 1}{a - x} $$ Преобразуем левую часть равенства. Для этого заменим деление умножением на взаимно обратную дробь: $$ \frac{a^2 + ax + x^2}{x - 1} : \frac{a^3 - x^3}{x^2 - 1} = \frac{a^2 + ax + x^2}{x - 1} \cdot \frac{x^2 - 1}{a^3 - x^3} $$ Разложим числитель и знаменатель второй дроби на множители по формулам сокращенного умножения: - разность квадратов: $x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$; - разность кубов: $a^3 - x^3 = (a - x)(a^2 + ax + x^2)$. Подставим полученные разложения в выражение: $$ \frac{a^2 + ax + x^2}{x - 1} \cdot \frac{(x - 1)(x + 1)}{(a - x)(a^2 + ax + x^2)} $$ Запишем под одну общую дробную черту: $$ \frac{(a^2 + ax + x^2)(x - 1)(x + 1)}{(x - 1)(a - x)(a^2 + ax + x^2)} $$ Сократим дробь на общие множители $(a^2 + ax + x^2)$ и $(x - 1)$: $$ \frac{x + 1}{a - x} $$ Получили: $$ \frac{x + 1}{a - x} = \frac{x + 1}{a - x} $$ Левая часть тождества равна правой части. Тождество доказано. --- **2)** Докажем тождество: $$ \frac{ap^2 - 9a}{p^3 - 8} : \frac{p + 3}{2p - 4} = \frac{2a(p - 3)}{p^2 + 2p + 4} $$ Преобразуем левую часть равенства, заменив деление умножением на обратную дробь: $$ \frac{ap^2 - 9a}{p^3 - 8} : \frac{p + 3}{2p - 4} = \frac{ap^2 - 9a}{p^3 - 8} \cdot \frac{2p - 4}{p + 3} $$ Разложим на множители числители и знаменатели: - в числителе первой дроби вынесем общий множитель $a$ за скобки и применим формулу разности квадратов: $ap^2 - 9a = a(p^2 - 9) = a(p - 3)(p + 3)$; - в знаменателе первой дроби применим формулу разности кубов: $p^3 - 8 = p^3 - 2^3 = (p - 2)(p^2 + 2p + 4)$; - в числителе второй дроби вынесем за скобки общий множитель $2$: $2p - 4 = 2(p - 2)$. Подставим полученные выражения в произведение дробей: $$ \frac{a(p - 3)(p + 3)}{(p - 2)(p^2 + 2p + 4)} \cdot \frac{2(p - 2)}{p + 3} $$ Запишем под одну общую дробную черту: $$ \frac{a(p - 3)(p + 3) \cdot 2(p - 2)}{(p - 2)(p^2 + 2p + 4)(p + 3)} $$ Сократим дробь на общие множители $(p + 3)$ и $(p - 2)$: $$ \frac{2a(p - 3)}{p^2 + 2p + 4} $$ Получили: $$ \frac{2a(p - 3)}{p^2 + 2p + 4} = \frac{2a(p - 3)}{p^2 + 2p + 4} $$ Левая часть тождества равна правой части. Тождество доказано.