ГДЗ по алгебре 7 класс Абылкасымова параграф 35 - 35.24

**35.24** Для доказательства тождеств преобразуем их левые части с помощью формул сокращённого умножения и приведения подобных слагаемых, чтобы показать равенство правой части. **1)** Докажем тождество: $$ ((a^7 - 8b^4)(8b^4 + a^7) + 63b^8)^2 - a^{14}(-2b^8 + a^{14}) = b^{16} $$ Преобразуем левую часть: 1. Применим формулу разности квадратов $(u - v)(u + v) = u^2 - v^2$ внутри внешних скобок: $$ (a^7 - 8b^4)(a^7 + 8b^4) = (a^7)^2 - (8b^4)^2 = a^{14} - 64b^8 $$ 2. Приведём подобные слагаемые внутри скобок: $$ a^{14} - 64b^8 + 63b^8 = a^{14} - b^8 $$ 3. Возведём полученную разность в квадрат по формуле $(u - v)^2 = u^2 - 2uv + v^2$: $$ (a^{14} - b^8)^2 = (a^{14})^2 - 2 \cdot a^{14} \cdot b^8 + (b^8)^2 = a^{28} - 2a^{14}b^8 + b^{16} $$ 4. Раскроем вторые скобки, умножив одночлен $-a^{14}$ на многочлен $(-2b^8 + a^{14})$: $$ -a^{14}(-2b^8 + a^{14}) = 2a^{14}b^8 - a^{28} $$ 5. Сложим полученные выражения: $$ a^{28} - 2a^{14}b^8 + b^{16} + 2a^{14}b^8 - a^{28} = b^{16} $$ Получили: $$ b^{16} = b^{16} $$ Тождество доказано. --- **2)** Докажем тождество: $$ b^{24} - (82c^{10} + (b^6 - 9c^5)(9c^5 + b^6))^2 + c^{20} = -2c^{10}b^{12} $$ Преобразуем левую часть: 1. Внутри скобок переставим слагаемые и применим формулу разности квадратов: $$ (b^6 - 9c^5)(b^6 + 9c^5) = (b^6)^2 - (9c^5)^2 = b^{12} - 81c^{10} $$ 2. Сложим слагаемые внутри скобок: $$ 82c^{10} + b^{12} - 81c^{10} = b^{12} + c^{10} $$ 3. Возведём сумму в квадрат по формуле $(u + v)^2 = u^2 + 2uv + v^2$: $$ (b^{12} + c^{10})^2 = (b^{12})^2 + 2 \cdot b^{12} \cdot c^{10} + (c^{10})^2 = b^{24} + 2b^{12}c^{10} + c^{20} $$ 4. Раскроем внешние скобки с учётом знака «минус» перед ними: $$ b^{24} - (b^{24} + 2b^{12}c^{10} + c^{20}) + c^{20} = b^{24} - b^{24} - 2b^{12}c^{10} - c^{20} + c^{20} = -2c^{10}b^{12} $$ Получили: $$ -2c^{10}b^{12} = -2c^{10}b^{12} $$ Тождество доказано. --- **3)** Докажем тождество: $$ (x^3 - 9y^4)^2 - (x^3 + 9y^4)^2 + 36x^3(y^4 - x) = -36x^4 $$ Преобразуем левую часть: 1. Применим формулу разности квадратов $u^2 - v^2 = (u - v)(u + v)$ для первых двух слагаемых, где $u = x^3 - 9y^4$, а $v = x^3 + 9y^4$: $$ (x^3 - 9y^4)^2 - (x^3 + 9y^4)^2 = ((x^3 - 9y^4) - (x^3 + 9y^4))((x^3 - 9y^4) + (x^3 + 9y^4)) $$ $$ = (x^3 - 9y^4 - x^3 - 9y^4)(x^3 - 9y^4 + x^3 + 9y^4) = (-18y^4)(2x^3) = -36x^3y^4 $$ 2. Раскроем скобки в третьем слагаемом: $$ 36x^3(y^4 - x) = 36x^3y^4 - 36x^4 $$ 3. Сложим полученные результаты: $$ -36x^3y^4 + 36x^3y^4 - 36x^4 = -36x^4 $$ Получили: $$ -36x^4 = -36x^4 $$ Тождество доказано. --- **4)** Докажем тождество: $$ 0,5z^4(40zt^2 - 5) - (z^5 + 10t^2)^2 + (10t^2 - z^5)^2 = -2,5z^4 - 20z^5t^2 $$ Преобразуем левую часть: 1. Раскроем первые скобки: $$ 0,5z^4(40zt^2 - 5) = 0,5z^4 \cdot 40zt^2 - 0,5z^4 \cdot 5 = 20z^5t^2 - 2,5z^4 $$ 2. Раскроем квадраты суммы и разности: $$ (z^5 + 10t^2)^2 = (z^5)^2 + 2 \cdot z^5 \cdot 10t^2 + (10t^2)^2 = z^{10} + 20z^5t^2 + 100t^4 $$ $$ (10t^2 - z^5)^2 = (10t^2)^2 - 2 \cdot 10t^2 \cdot z^5 + (z^5)^2 = 100t^4 - 20z^5t^2 + z^{10} $$ 3. Подставим раскрытые выражения в левую часть: $$ 20z^5t^2 - 2,5z^4 - (z^{10} + 20z^5t^2 + 100t^4) + (100t^4 - 20z^5t^2 + z^{10}) $$ $$ = 20z^5t^2 - 2,5z^4 - z^{10} - 20z^5t^2 - 100t^4 + 100t^4 - 20z^5t^2 + z^{10} $$ 4. Приведём подобные слагаемые: $$ (z^{10} - z^{10}) + (100t^4 - 100t^4) + (20z^5t^2 - 20z^5t^2 - 20z^5t^2) - 2,5z^4 = -2,5z^4 - 20z^5t^2 $$ Получили: $$ -2,5z^4 - 20z^5t^2 = -2,5z^4 - 20z^5t^2 $$ Тождество доказано.