ГДЗ по алгебре 7 класс Абылкасымова параграф 35 - 35.23

1) Решим неравенство: $$ (x + 9)^2 - x^2 > 15x - 79 $$ Применим формулу квадрата суммы $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$: $$ x^2 + 18x + 81 - x^2 > 15x - 79 $$ Приведём подобные слагаемые в левой части: $$ 18x + 81 > 15x - 79 $$ Перенесём слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую: $$ 18x - 15x > -79 - 81 $$ $$ 3x > -160 $$ Разделим обе части неравенства на $3$: $$ x > -\frac{160}{3} $$ $$ x > -53\frac{1}{3} $$ Решением неравенства является промежуток $\left(-53\frac{1}{3}; +\infty\right)$. Наименьшим целым числом, входящим в этот промежуток, является число $-53$. **Ответ к п. 1:** $-53$. --- 2) Решим неравенство: $$ x^2 - (11 - x)^2 < 23x + 19 $$ Применим формулу квадрата разности $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$: $$ x^2 - (121 - 22x + x^2) < 23x + 19 $$ Раскроем скобки, учитывая знак «минус» перед ними: $$ x^2 - 121 + 22x - x^2 < 23x + 19 $$ $$ 22x - 121 < 23x + 19 $$ Перенесём слагаемые с $x$ влево, а числа — вправо: $$ 22x - 23x < 19 + 121 $$ $$ -x < 140 $$ Умножим обе части неравенства на $-1$, изменив знак неравенства на противоположный: $$ x > -140 $$ Решением неравенства является промежуток $(-140; +\infty)$. Так как неравенство строгое, наименьшим целым решением является следующее за $-140$ целое число, то есть $-139$. **Ответ к п. 2:** $-139$. --- 3) Решим неравенство: $$ (x - 8)^3 + 24x^2 \geq x^3 + 64x $$ Применим формулу куба разности $(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$: $$ (x^3 - 3 \cdot x^2 \cdot 8 + 3 \cdot x \cdot 8^2 - 8^3) + 24x^2 \geq x^3 + 64x $$ $$ x^3 - 24x^2 + 192x - 512 + 24x^2 \geq x^3 + 64x $$ Приведём подобные слагаемые в левой части: $$ x^3 + 192x - 512 \geq x^3 + 64x $$ Перенесём все слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а числа — в правую: $$ x^3 - x^3 + 192x - 64x \geq 512 $$ $$ 128x \geq 512 $$ Разделим обе части неравенства на $128$: $$ x \geq \frac{512}{128} $$ $$ x \geq 4 $$ Решением неравенства является промежуток $[4; +\infty)$. Наименьшим целым числом из этого промежутка является $4$. **Ответ к п. 3:** $4$. --- 4) Решим неравенство: $$ x^3 - (7 + x)^3 \geq -21x^2 - 490 $$ Применим формулу куба суммы $(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$: $$ x^3 - (343 + 3 \cdot 7^2 \cdot x + 3 \cdot 7 \cdot x^2 + x^3) \geq -21x^2 - 490 $$ $$ x^3 - (x^3 + 21x^2 + 147x + 343) \geq -21x^2 - 490 $$ Раскроем скобки: $$ x^3 - x^3 - 21x^2 - 147x - 343 \geq -21x^2 - 490 $$ $$ -21x^2 - 147x - 343 \geq -21x^2 - 490 $$ Перенесём слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а числа — в правую: $$ -21x^2 + 21x^2 - 147x \geq -490 + 343 $$ $$ -147x \geq -147 $$ Разделим обе части на $-147$, изменив знак неравенства: $$ x \leq 1 $$ Решением неравенства является промежуток $(-\infty; 1]$. Так как этот промежуток не ограничен снизу, наименьшего целого числа не существует (существует только наибольшее — это $1$). *Примечание:* если в условии допущена опечатка в знаке и неравенство имеет вид $x^3 - (7 + x)^3 \leq -21x^2 - 490$, то его решением является $x \geq 1$, и тогда наименьшим целым решением будет $1$. **Ответ к п. 4:** не существует (при знаке $\leq$ в условии ответ: $1$). --- **Ответ:** 1) $-53$; 2) $-139$; 3) $4$; 4) не существует.