ГДЗ по алгебре 7 класс Абылкасымова параграф 32 - 32.32

1) Преобразуем левую часть равенства. Для раскрытия первой скобки применим формулу квадрата суммы $(A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$: $$ \left( \frac{3}{5} a^{3n+1} b^2 + \frac{2}{3} a^{n-1} b^3 \right)^2 = \left( \frac{3}{5} a^{3n+1} b^2 \right)^2 + 2 \cdot \left( \frac{3}{5} a^{3n+1} b^2 \right) \cdot \left( \frac{2}{3} a^{n-1} b^3 \right) + \left( \frac{2}{3} a^{n-1} b^3 \right)^2 $$ Выполним возведение в степень и умножение: $$ = \frac{9}{25} a^{2(3n+1)} b^4 + 2 \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{3} a^{(3n+1) + (n-1)} b^{2+3} + \frac{4}{9} a^{2(n-1)} b^6 = $$ $$ = \frac{9}{25} a^{6n+2} b^4 + \frac{4}{5} a^{4n} b^5 + \frac{4}{9} a^{2n-2} b^6 $$ Раскроем вторые скобки, умножив одночлен на многочлен: $$ -\frac{4}{45} a^{2n-2} b^5 (9a^{2n+2} + 5b) = -\frac{4}{45} \cdot 9 a^{(2n-2) + (2n+2)} b^5 - \frac{4}{45} \cdot 5 a^{2n-2} b^{5+1} = $$ $$ = -\frac{4}{5} a^{4n} b^5 - \frac{4}{9} a^{2n-2} b^6 $$ Подставим полученные выражения в левую часть исходного равенства: $$ \left( \frac{9}{25} a^{6n+2} b^4 + \frac{4}{5} a^{4n} b^5 + \frac{4}{9} a^{2n-2} b^6 \right) - \frac{4}{5} a^{4n} b^5 - \frac{4}{9} a^{2n-2} b^6 + \frac{16}{25} a^{6n+2} b^4 $$ Приведем подобные слагаемые: $$ \left( \frac{9}{25} + \frac{16}{25} \right) a^{6n+2} b^4 + \left( \frac{4}{5} - \frac{4}{5} \right) a^{4n} b^5 + \left( \frac{4}{9} - \frac{4}{9} \right) a^{2n-2} b^6 = $$ $$ = \frac{25}{25} a^{6n+2} b^4 + 0 + 0 = a^{6n+2} b^4 $$ Левая часть равна правой части: $$ a^{6n+2} b^4 = a^{6n+2} b^4 $$ Тождество доказано. --- 2) Преобразуем левую часть равенства. Для раскрытия первой скобки применим формулу квадрата разности $(A - B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$: $$ \left( \frac{5}{6} x^{2n-1} y^n - \frac{3}{5} x^{n+1} y^2 \right)^2 = \left( \frac{5}{6} x^{2n-1} y^n \right)^2 - 2 \cdot \left( \frac{5}{6} x^{2n-1} y^n \right) \cdot \left( \frac{3}{5} x^{n+1} y^2 \right) + \left( \frac{3}{5} x^{n+1} y^2 \right)^2 $$ Выполним возведение в степень и умножение: $$ = \frac{25}{36} x^{2(2n-1)} y^{2n} - 2 \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{3}{5} x^{(2n-1) + (n+1)} y^{n+2} + \frac{9}{25} x^{2(n+1)} y^4 = $$ $$ = \frac{25}{36} x^{4n-2} y^{2n} - x^{3n} y^{n+2} + \frac{9}{25} x^{2n+2} y^4 $$ Раскроем вторые скобки, умножив одночлен на многочлен: $$ -\frac{1}{36} x^{3n} y^{n+2} (25x^{n-2} y^{n-2} - 36) = -\frac{25}{36} x^{3n + (n-2)} y^{(n+2) + (n-2)} + \frac{36}{36} x^{3n} y^{n+2} = $$ $$ = -\frac{25}{36} x^{4n-2} y^{2n} + x^{3n} y^{n+2} $$ Подставим полученные выражения в левую часть исходного равенства: $$ \frac{25}{36} x^{4n-2} y^{2n} - x^{3n} y^{n+2} + \frac{9}{25} x^{2n+2} y^4 - \frac{25}{36} x^{4n-2} y^{2n} + x^{3n} y^{n+2} $$ Приведем подобные слагаемые: $$ \left( \frac{25}{36} - \frac{25}{36} \right) x^{4n-2} y^{2n} + (-1 + 1) x^{3n} y^{n+2} + \frac{9}{25} x^{2n+2} y^4 = $$ $$ = 0 + 0 + \frac{9}{25} x^{2n+2} y^4 = \frac{9}{25} x^{2n+2} y^4 $$ Левая часть равна правой части: $$ \frac{9}{25} x^{2n+2} y^4 = \frac{9}{25} x^{2n+2} y^4 $$ Тождество доказано.