ГДЗ по алгебре 7 класс Абылкасымова параграф 24 - 24.4

1) Построим графики функций $y = x + 4$ и $y = 6 - x$. Графиками линейных функций являются прямые. Для построения каждой прямой найдем координаты двух точек. Для прямой $y = x + 4$: * при $x = 0$: $y = 0 + 4 = 4$, получаем точку $(0; 4)$; * при $x = -4$: $y = -4 + 4 = 0$, получаем точку $(-4; 0)$. Для прямой $y = 6 - x$: * при $x = 0$: $y = 6 - 0 = 6$, получаем точку $(0; 6)$; * при $x = 6$: $y = 6 - 6 = 0$, получаем точку $(6; 0)$. Найдем координаты точки пересечения графиков аналитически. Для этого приравняем выражения для $y$: $$ x + 4 = 6 - x $$ $$ x + x = 6 - 4 $$ $$ 2x = 2 $$ $$ x = 1 $$ Подставим найденное значение $x = 1$ в первое уравнение: $$ y = 1 + 4 = 5 $$ На координатной плоскости строим обе прямые по найденным точкам; графики пересекаются в точке с координатами $(1; 5)$. Ответ: $(1; 5)$. --- 2) Построим графики функций $y = 7x + 9$ и $y = 3 + x$. Для прямой $y = 7x + 9$: * при $x = 0$: $y = 7 \cdot 0 + 9 = 9$, получаем точку $(0; 9)$; * при $x = -1$: $y = 7 \cdot (-1) + 9 = 2$, получаем точку $(-1; 2)$. Для прямой $y = 3 + x$: * при $x = 0$: $y = 3 + 0 = 3$, получаем точку $(0; 3)$; * при $x = -3$: $y = 3 + (-3) = 0$, получаем точку $(-3; 0)$. Найдем координаты точки пересечения графиков: $$ 7x + 9 = 3 + x $$ $$ 7x - x = 3 - 9 $$ $$ 6x = -6 $$ $$ x = -1 $$ Подставим $x = -1$ во второе уравнение: $$ y = 3 + (-1) = 2 $$ Построенные прямые пересекаются в точке $(-1; 2)$. Ответ: $(-1; 2)$. --- 3) Преобразуем уравнения $x + y = 3$ и $x - y = 1$, выразив $y$ через $x$: $$ y = 3 - x $$ $$ y = x - 1 $$ Найдем точки для построения графиков: Для прямой $y = 3 - x$: * при $x = 0$: $y = 3 - 0 = 3$, получаем точку $(0; 3)$; * при $x = 3$: $y = 3 - 3 = 0$, получаем точку $(3; 0)$. Для прямой $y = x - 1$: * при $x = 0$: $y = 0 - 1 = -1$, получаем точку $(0; -1)$; * при $x = 1$: $y = 1 - 1 = 0$, получаем точку $(1; 0)$. Найдем координаты точки пересечения графиков: $$ 3 - x = x - 1 $$ $$ -x - x = -1 - 3 $$ $$ -2x = -4 $$ $$ x = 2 $$ Подставим $x = 2$ в уравнение $y = x - 1$: $$ y = 2 - 1 = 1 $$ Построенные прямые пересекаются в точке $(2; 1)$. Ответ: $(2; 1)$. --- 4) Преобразуем уравнения $3x - 2y = -2$ и $7x - 5y = -4$, выразив $y$ через $x$: Из первого уравнения: $$ 2y = 3x + 2 $$ $$ y = 1{,}5x + 1 $$ Из второго уравнения: $$ 5y = 7x + 4 $$ $$ y = 1{,}4x + 0{,}8 $$ Найдем удобные точки для построения графиков: Для прямой $y = 1{,}5x + 1$: * при $x = 0$: $y = 1$, получаем точку $(0; 1)$; * при $x = 2$: $y = 1{,}5 \cdot 2 + 1 = 4$, получаем точку $(2; 4)$. Для прямой $y = \frac{7x + 4}{5}$: * при $x = 3$: $y = \frac{7 \cdot 3 + 4}{5} = \frac{25}{5} = 5$, получаем точку $(3; 5)$; * при $x = -2$: $y = \frac{7 \cdot (-2) + 4}{5} = \frac{-10}{5} = -2$, получаем точку $(-2; -2)$. Найдем координаты точки пересечения графиков, решив систему уравнений: $$ \begin{cases} 3x - 2y = -2 \\ 7x - 5y = -4 \end{cases} $$ Умножим первое уравнение на $5$, а второе — на $-2$: $$ \begin{cases} 15x - 10y = -10 \\ -14x + 10y = 8 \end{cases} $$ Сложим почленно оба уравнения системы: $$ (15x - 14x) + (-10y + 10y) = -10 + 8 $$ $$ x = -2 $$ Подставим $x = -2$ в уравнение $y = 1{,}5x + 1$: $$ y = 1{,}5 \cdot (-2) + 1 = -3 + 1 = -2 $$ Построенные прямые пересекаются в точке $(-2; -2)$. Ответ: $(-2; -2)$.