ГДЗ по математике 5 класс Бунимович Базовый уровень подведём итоги. глава - 8

1. 1) Найдём количество девочек в классе: $$30 - 17 = 13\text{ (уч.)}$$ 2) Всего в классе 30 учеников, из них 13 девочек. Часть класса, которую составляют девочки, выражается дробью $\frac{13}{30}$. Числитель дроби — 13, знаменатель дроби — 30. Ответ: $\frac{13}{30}$; числитель — 13, знаменатель — 30. --- 2. - **Правильной дробью** называется дробь, у которой числитель меньше знаменателя. Примеры правильных дробей: $\frac{2}{5}$, $\frac{3}{7}$, $\frac{8}{11}$. - **Неправильной дробью** называется дробь, у которой числитель больше знаменателя или равен ему. Примеры неправильных дробей: $\frac{5}{3}$, $\frac{7}{7}$, $\frac{12}{5}$. --- 3. Чтобы изобразить дробь $\frac{3}{5}$ на координатной прямой: 1) Начертим координатный луч с началом в точке $O(0)$. 2) Выберем единичный отрезок, удобный для деления на 5 частей (например, 5 клеток тетради). 3) Разделим единичный отрезок на 5 равных частей. Длина одной части равна $\frac{1}{5}$ единичного отрезка (1 клетка). 4) Отложим от начала отсчёта $O(0)$ вправо 3 такие части и отметим точку, соответствующую числу $\frac{3}{5}$ (3 клетки от нуля). Чтобы отметить точку $\frac{7}{5}$, отложим от начала отсчёта 7 таких же частей (7 клеток от нуля, то есть на 2 клетки правее числа 1). Схематический чертёж (1 деление = 1 клетка = $\frac{1}{5}$): ``` 0 3/5 1 7/5 +---+---+---+---+---+---+---+---> 0 • 1 • ``` --- 4. а) Так как $1\text{ кг} = 1000\text{ г}$: - в $\frac{1}{2}\text{ кг}$: $$1000 : 2 \cdot 1 = 500\text{ г}$$ - в $\frac{3}{5}\text{ кг}$: $$1000 : 5 \cdot 3 = 200 \cdot 3 = 600\text{ г}$$ б) Так как $1\text{ м} = 100\text{ см}$: - в $\frac{1}{4}\text{ м}$: $$100 : 4 \cdot 1 = 25\text{ см}$$ - в $\frac{7}{10}\text{ м}$: $$100 : 10 \cdot 7 = 10 \cdot 7 = 70\text{ см}$$ в) Так как $1\text{ мин} = 60\text{ с}$: - в $\frac{1}{6}\text{ мин}$: $$60 : 6 \cdot 1 = 10\text{ с}$$ - в $\frac{2}{3}\text{ мин}$: $$60 : 3 \cdot 2 = 20 \cdot 2 = 40\text{ с}$$ --- 5. 1) **Основное свойство дроби:** если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь. Запись с помощью букв: $$\frac{a}{b} = \frac{a \cdot c}{b \cdot c}\quad \text{и}\quad \frac{a}{b} = \frac{a : c}{b : c}$$ Чтобы привести дробь $\frac{3}{4}$ к знаменателю 20, найдём дополнительный множитель: разделим новый знаменатель на старый: $20 : 4 = 5$. Затем умножим числитель и знаменатель дроби на 5: $$\frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 5}{4 \cdot 5} = \frac{15}{20}$$ 2) Приведём дробь $\frac{2}{3}$ к новым знаменателям: - к знаменателю 12 (дополнительный множитель $12 : 3 = 4$): $$\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 4} = \frac{8}{12}$$ - к знаменателю 15 (дополнительный множитель $15 : 3 = 5$): $$\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 5} = \frac{10}{15}$$ - к знаменателю 36 (дополнительный множитель $36 : 3 = 12$): $$\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 12}{3 \cdot 12} = \frac{24}{36}$$ 3) Приведём дроби к наименьшему общему знаменателю (НОЗ): а) Для дробей $\frac{3}{5}$ и $\frac{2}{3}$ наименьший общий знаменатель равен 15: $$\frac{3}{5} = \frac{3 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{9}{15}$$ $$\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 5} = \frac{10}{15}$$ б) Для дробей $\frac{3}{4}$ и $\frac{5}{16}$ наименьший общий знаменатель равен 16: $$\frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 4}{4 \cdot 4} = \frac{12}{16}$$ Дробь $\frac{5}{16}$ оставляем без изменений. в) Для дробей $\frac{1}{4}$ и $\frac{1}{6}$ наименьший общий знаменатель равен 12: $$\frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{3}{12}$$ $$\frac{1}{6} = \frac{1 \cdot 2}{6 \cdot 2} = \frac{2}{12}$$ --- 6. 1) Сократить дробь $\frac{41}{100}$ нельзя, так как числитель 41 — простое число, и у чисел 41 и 100 нет общих делителей, кроме 1. Примеры несократимых дробей: $\frac{3}{8}$, $\frac{5}{9}$, $\frac{11}{15}$. 2) Сократим дроби: а) Разделим числитель и знаменатель на 2: $$\frac{8}{10} = \frac{8 : 2}{10 : 2} = \frac{4}{5}$$ б) Разделим числитель и знаменатель на 12: $$\frac{12}{48} = \frac{12 : 12}{48 : 12} = \frac{1}{4}$$ в) Разделим числитель и знаменатель на 25: $$\frac{75}{100} = \frac{75 : 25}{100 : 25} = \frac{3}{4}$$ г) Разделим числитель и знаменатель на 100: $$\frac{100}{1000} = \frac{100 : 100}{1000 : 100} = \frac{1}{10}$$ --- 7. а) В 1 метре 100 сантиметров: - $50\text{ см} = \frac{50}{100}\text{ м} = \frac{1}{2}\text{ м}$ - $55\text{ см} = \frac{55}{100}\text{ м} = \frac{11}{20}\text{ м}$ б) В 1 часе 60 минут: - $30\text{ мин} = \frac{30}{60}\text{ ч} = \frac{1}{2}\text{ ч}$ - $48\text{ мин} = \frac{48}{60}\text{ ч} = \frac{4}{5}\text{ ч}$ --- 8. 1) - **С одинаковыми знаменателями:** из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та, у которой числитель больше, и меньше та, у которой числитель меньше. - **С разными знаменателями:** чтобы сравнить дроби с разными знаменателями, их сначала приводят к общему знаменателю, а затем сравнивают полученные дроби с одинаковыми знаменателями. 2) Сравним дроби: а) $\frac{8}{17}$ и $\frac{6}{17}$. Знаменатели одинаковые, сравниваем числители: $8 > 6$, значит: $$\frac{8}{17} > \frac{6}{17}$$ б) $\frac{5}{8}$ и $\frac{4}{7}$. Приведём дроби к общему знаменателю 56: $$\frac{5}{8} = \frac{5 \cdot 7}{8 \cdot 7} = \frac{35}{56}$$ $$\frac{4}{7} = \frac{4 \cdot 8}{7 \cdot 8} = \frac{32}{56}$$ Так как $35 > 32$, то $\frac{35}{56} > \frac{32}{56}$, следовательно: $$\frac{5}{8} > \frac{4}{7}$$ в) $\frac{1}{10}$ и $\frac{1}{100}$. Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой знаменатель меньше ($10 < 100$): $$\frac{1}{10} > \frac{1}{100}$$ г) $\frac{7}{10}$ и $\frac{10}{7}$. Дробь $\frac{7}{10}$ — правильная (меньше 1), а дробь $\frac{10}{7}$ — неправильная (больше 1). Так как любая правильная дробь меньше любой неправильной: $$\frac{7}{10} < \frac{10}{7}$$ --- 9. Знак деления заменяется чертой дроби: а) $3 : 5 = \frac{3}{5}$ б) $20 : 25 = \frac{20}{25}$ (или после сокращения на 5: $\frac{4}{5}$) в) $m : n = \frac{m}{n}$