ГДЗ по алгебре 11 класс Александрова самостоятельные работы (Мордкович) Базовый уровень С-9. вариант - 4

1. Построим график функции $y = -x^{\frac{3}{2}} + 1$ и опишем её свойства. По определению степени с дробным показателем, область определения функции: $$ D(y) = [0; +\infty) $$ График получается из графика степенной функции $y = x^{\frac{3}{2}}$ симметричным отражением относительно оси $Ox$ ($y = -x^{\frac{3}{2}}$) и последующим параллельным переносом вдоль оси $Oy$ на $1$ единицу вверх. Составим таблицу значений: $$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x & 0 & 1 & 4 \\ \hline y & 1 & 0 & -7 \\ \hline \end{array} $$ * При $x = 0$: $y = -0^{\frac{3}{2}} + 1 = 1$; * При $x = 1$: $y = -1^{\frac{3}{2}} + 1 = 0$; * При $x = 4$: $y = -(\sqrt{4})^3 + 1 = -8 + 1 = -7$. **Свойства функции $y = -x^{\frac{3}{2}} + 1$:** 1. **Область определения:** $D(y) = [0; +\infty)$. 2. **Область значений:** $E(y) = (-\infty; 1]$. 3. **Чётность:** функция не является ни чётной, ни нечётной (функция общего вида), так как её область определения не симметрична относительно начала координат. 4. **Нули функции и точки пересечения с осями координат:** * с осью $Ox$: $y = 0 \iff -x^{\frac{3}{2}} + 1 = 0 \iff x = 1$, точка $(1; 0)$; * с осью $Oy$: при $x = 0$ получаем $y = 1$, точка $(0; 1)$. 5. **Промежутки знакопостоянства:** * $y > 0$ при $x \in [0; 1)$; * $y < 0$ при $x \in (1; +\infty)$. 6. **Монотонность:** функция строго убывает на промежутке $[0; +\infty)$. 7. **Экстремумы и наибольшее/наименьшее значения:** * $y_{\text{наиб}} = 1$ при $x = 0$; * наименьшего значения функция не имеет. 8. **Непрерывность:** функция непрерывна на всей области определения $[0; +\infty)$. --- 2. Решим графически систему уравнений: $$ \begin{cases} y = -x^{\frac{3}{2}} + 1; \\ y = (x - 1)^3. \end{cases} $$ Для этого построим графики обоих уравнений в одной системе координат: 1) График первого уравнения $y = -x^{\frac{3}{2}} + 1$ построен в пункте 1: он определён при $x \ge 0$, проходит через точки $(0; 1)$, $(1; 0)$, $(4; -7)$ и монотонно убывает. 2) График второго уравнения $y = (x - 1)^3$ представляет собой кубическую параболу $y = x^3$, смещённую вправо вдоль оси $Ox$ на $1$ единицу. Функция определена на $(-\infty; +\infty)$ и монотонно возрастает. Составим таблицу значений: $$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -1 & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline y & -8 & -1 & 0 & 1 & 8 \\ \hline \end{array} $$ * При $x = -1$: $y = (-1 - 1)^3 = -8$; * При $x = 0$: $y = (0 - 1)^3 = -1$; * При $x = 1$: $y = (1 - 1)^3 = 0$; * При $x = 2$: $y = (2 - 1)^3 = 1$; * При $x = 3$: $y = (3 - 1)^3 = 8$. Так как на промежутке $[0; +\infty)$ первая функция строго убывает, а вторая строго возрастает, их графики могут иметь не более одной точки пересечения. По построенным графикам находим единственную точку пересечения: $(1; 0)$. Проверим подстановкой $x = 1$, $y = 0$: $$ \begin{cases} 0 = -1^{\frac{3}{2}} + 1 = 0 \quad (\text{верно}); \\ 0 = (1 - 1)^3 = 0 \quad (\text{верно}). \end{cases} $$ Ответ: $(1; 0)$.