ГДЗ по алгебре 11 класс Александрова самостоятельные работы (Мордкович) Базовый уровень С-9. вариант - 1

### 1. Построение графика функции $y = (x - 2)^{\frac{3}{2}} - 1$ и описание ее свойств График функции $y = (x - 2)^{\frac{3}{2}} - 1$ получается из графика базовой степенной функции $y = x^{\frac{3}{2}}$ путем параллельного переноса на $2$ единицы вправо вдоль оси $Ox$ и на $1$ единицу вниз вдоль оси $Oy$. Составим таблицу значений: $$ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & 2 & 3 & 6 \\ \hline y & -1 & 0 & 7 \\ \hline \end{array} $$ * При $x = 2$: $y = (2 - 2)^{\frac{3}{2}} - 1 = 0 - 1 = -1$; * При $x = 3$: $y = (3 - 2)^{\frac{3}{2}} - 1 = 1^{\frac{3}{2}} - 1 = 1 - 1 = 0$; * При $x = 6$: $y = (6 - 2)^{\frac{3}{2}} - 1 = 4^{\frac{3}{2}} - 1 = (\sqrt{4})^3 - 1 = 8 - 1 = 7$. **Свойства функции:** 1. **Область определения:** выражение под знаком степени с дробным показателем должно быть неотрицательным, то есть $x - 2 \ge 0 \implies x \ge 2$. $D(y) = [2; +\infty)$. 2. **Область значений:** так как $(x - 2)^{\frac{3}{2}} \ge 0$, то $y \ge -1$. $E(y) = [-1; +\infty)$. 3. **Точки пересечения с осями координат:** * С осью $Ox$ ($y = 0$): $(x - 2)^{\frac{3}{2}} - 1 = 0 \iff (x - 2)^{\frac{3}{2}} = 1 \iff x - 2 = 1 \iff x = 3$. Точка $(3; 0)$. * С осью $Oy$: график не пересекает ось ординат, так как $x = 0$ не входит в область определения ($0 \notin D(y)$). 4. **Промежутки знакопостоянства:** * $y > 0$ при $x \in (3; +\infty)$; * $y < 0$ при $x \in [2; 3)$. 5. **Монотонность:** функция является строго возрастающей на всей области определения, то есть на промежутке $[2; +\infty)$. 6. **Экстремумы и наибольшее/наименьшее значения:** * Наименьшее значение: $y_{\text{наим}} = -1$ при $x = 2$; * Наибольшего значения не существует. 7. **Ограниченность:** функция ограничена снизу числом $-1$ и не ограничена сверху. 8. **Четность:** функция не является ни четной, ни нечетной (функция общего вида), так как ее область определения не симметрична относительно нуля. --- ### 2. Графическое решение системы уравнений $$ \begin{cases} y = (x - 2)^{\frac{3}{2}} - 1; \\ y = 3 - x. \end{cases} $$ Построим графики обоих уравнений в одной системе координат: 1. График функции $y = (x - 2)^{\frac{3}{2}} - 1$ построен в пункте 1. Он проходит через точки $(2; -1)$, $(3; 0)$, $(6; 7)$. 2. График функции $y = 3 - x$ — прямая линия. Найдем две точки для ее построения: * При $x = 0$: $y = 3 - 0 = 3$ — точка $(0; 3)$; * При $x = 3$: $y = 3 - 3 = 0$ — точка $(3; 0)$. 3. Найдем координаты точки пересечения построенных графиков: * Графики пересекаются в единственной точке с координатами $(3; 0)$. Проверка: * Для первого уравнения: $0 = (3 - 2)^{\frac{3}{2}} - 1 \iff 0 = 1 - 1$ (верно); * Для второго уравнения: $0 = 3 - 3$ (верно). Поскольку функция $y = (x - 2)^{\frac{3}{2}} - 1$ строго возрастает на $[2; +\infty)$, а функция $y = 3 - x$ строго убывает на $\mathbb{R}$, других точек пересечения графики не имеют. Ответ: $(3; 0)$.