ГДЗ по алгебре 11 класс Александрова самостоятельные работы (Мордкович) Базовый уровень С-10. вариант - 2

**1.** Вычислим производные заданных функций, используя формулу производной степенной функции $(x^r)' = r x^{r-1}$ и правила дифференцирования. а) $y = x^{\frac{5}{6}} + 6x$ $$ y' = \left(x^{\frac{5}{6}}\right)' + (6x)' = \frac{5}{6}x^{\frac{5}{6}-1} + 6 = \frac{5}{6}x^{-\frac{1}{6}} + 6 = \frac{5}{6\sqrt[6]{x}} + 6 $$ б) Представим корень в виде степени с рациональным показателем: $y = \sqrt[5]{x^2} = x^{\frac{2}{5}}$. $$ y' = \left(x^{\frac{2}{5}}\right)' = \frac{2}{5}x^{\frac{2}{5}-1} = \frac{2}{5}x^{-\frac{3}{5}} = \frac{2}{5\sqrt[5]{x^3}} $$ в) Представим $\sqrt{x}$ как $x^{\frac{1}{2}}$ и раскроем скобки перед дифференцированием: $$ y = x^{-\frac{3}{8}}\left(x^{\frac{1}{2}} - 3\right) = x^{-\frac{3}{8} + \frac{4}{8}} - 3x^{-\frac{3}{8}} = x^{\frac{1}{8}} - 3x^{-\frac{3}{8}} $$ Найдем производную: $$ y' = \left(x^{\frac{1}{8}}\right)' - 3\left(x^{-\frac{3}{8}}\right)' = \frac{1}{8}x^{\frac{1}{8}-1} - 3 \cdot \left(-\frac{3}{8}\right)x^{-\frac{3}{8}-1} = \frac{1}{8}x^{-\frac{7}{8}} + \frac{9}{8}x^{-\frac{11}{8}} $$ Запишем результат с помощью корней: $$ y' = \frac{1}{8\sqrt[8]{x^7}} + \frac{9}{8\sqrt[8]{x^{11}}} = \frac{1}{8\sqrt[8]{x^7}} + \frac{9}{8x\sqrt[8]{x^3}} $$ г) Представим функцию в виде $y = (7 - 6x)^{\frac{1}{3}}$ и применим правило дифференцирования сложной функции: $$ y' = \left((7 - 6x)^{\frac{1}{3}}\right)' = \frac{1}{3}(7 - 6x)^{\frac{1}{3}-1} \cdot (7 - 6x)' $$ $$ y' = \frac{1}{3}(7 - 6x)^{-\frac{2}{3}} \cdot (-6) = -2(7 - 6x)^{-\frac{2}{3}} = -\frac{2}{\sqrt[3]{(7 - 6x)^2}} $$ --- **2.** Геометрический смысл производной заключается в том, что угловой коэффициент касательной к графику функции в точке с абсциссой $x_0$ равен значению производной в этой точке: $k = y'(x_0)$. Найдем производную функции $y = 8x^{-0,75} + 3$: $$ y' = 8 \cdot (-0,75)x^{-0,75-1} + 0 = -6x^{-1,75} $$ Вычислим значение производной в точке $x = 1$: $$ k = y'(1) = -6 \cdot 1^{-1,75} = -6 \cdot 1 = -6 $$ **Ответ:** $-6$.