ГДЗ по алгебре 11 класс Александрова самостоятельные работы (Мордкович) Базовый уровень С-9. вариант - 3

### 1. Построение графика функции $y = (x + 3)^{-\frac{2}{3}} - 1$ и ее свойства Запишем функцию в виде: $$ y = \frac{1}{\sqrt[3]{(x + 3)^2}} - 1 $$ График получается из базового графика степенной функции $y = x^{-\frac{2}{3}}$ с помощью двух параллельных переносов: 1. сдвиг на $3$ единицы влево вдоль оси $Ox$; 2. сдвиг на $1$ единицу вниз вдоль оси $Oy$. **Таблица опорных точек для построения:** | $x$ | $-11$ | $-4$ | $-3{,}125$ | $-3$ | $-2{,}875$ | $-2$ | $5$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | $x+3$ | $-8$ | $-1$ | $-\frac{1}{8}$ | $0$ | $\frac{1}{8}$ | $1$ | $8$ | | $(x+3)^{-\frac{2}{3}}$ | $\frac{1}{4}$ | $1$ | $4$ | — | $4$ | $1$ | $\frac{1}{4}$ | | $y$ | $-0{,}75$ | $0$ | $3$ | — | $3$ | $0$ | $-0{,}75$ | **Свойства функции:** 1. **Область определения:** $D(y) = (-\infty; -3) \cup (-3; +\infty)$ (все числа, кроме $x = -3$). *(Примечание: если по строгому школьному определению степень с рациональным нецелым показателем задается только для положительного основания, то $D(y) = (-3; +\infty)$).* 2. **Множество значений:** $E(y) = (-1; +\infty)$. 3. **Четность / нечетность:** Функция общего вида (ни четная, ни нечетная). График симметричен относительно вертикальной прямой $x = -3$. 4. **Асимптоты графика:** - вертикальная асимптота: прямая $x = -3$ (при $x \to -3$ значения $y \to +\infty$); - горизонтальная асимптота: прямая $y = -1$ (при $x \to \pm\infty$ значения $y \to -1$). 5. **Нули функции:** Значения $x$, при которых $y = 0$: $$ (x + 3)^{-\frac{2}{3}} - 1 = 0 \iff (x + 3)^2 = 1 \iff x + 3 = \pm 1 $$ Получаем $x_1 = -4$, $x_2 = -2$. Точки пересечения с осью $Ox$: $(-4; 0)$ и $(-2; 0)$ (при $D(y) = (-3; +\infty)$ нулем является только $x = -2$). 6. **Промежутки знакопостоянства:** - $y > 0$ при $x \in (-4; -3) \cup (-3; -2)$; - $y < 0$ при $x \in (-\infty; -4) \cup (-2; +\infty)$. 7. **Монотонность:** - функция возрастает на промежутке $(-\infty; -3)$; - функция убывает на промежутке $(-3; +\infty)$. 8. **Экстремумы:** Точек экстремума нет. Наибольшего и наименьшего значений функция не принимает. --- ### 2. Графическое решение системы уравнений $$ \begin{cases} y = (x + 3)^{-\frac{2}{3}} - 1; \\ y = (x + 2)^3. \end{cases} $$ Построим графики обоих уравнений в одной системе координат: 1. График первого уравнения $y = (x + 3)^{-\frac{2}{3}} - 1$ построен в пункте 1. Он состоит из двух ветвей, неограниченно приближающихся к асимптотам $x = -3$ и $y = -1$. 2. График второго уравнения $y = (x + 2)^3$ — кубическая парабола, полученная сдвигом графика $y = x^3$ на $2$ единицы влево вдоль оси $Ox$. Опорные точки кубической параболы: - при $x = -4$: $y = (-2)^3 = -8$; - при $x = -3$: $y = (-1)^3 = -1$; - при $x = -2$: $y = 0^3 = 0$; - при $x = -1$: $y = 1^3 = 1$; - при $x = 0$: $y = 2^3 = 8$. **Определение точек пересечения:** По построенным графикам видно, что они пересекаются в единственной точке с координатами $(-2; 0)$. Проверим эту точку подстановкой в систему: - Для первого уравнения: $y = (-2 + 3)^{-\frac{2}{3}} - 1 = 1^{-\frac{2}{3}} - 1 = 1 - 1 = 0$ — верно. - Для второго уравнения: $y = (-2 + 2)^3 = 0^3 = 0$ — верно. **Обоснование единственности решения:** - На промежутке $(-3; +\infty)$ функция $y = (x + 3)^{-\frac{2}{3}} - 1$ строго убывает, а функция $y = (x + 2)^3$ строго возрастает. Следовательно, на этом промежутке графики могут иметь не более одной общей точки, и это точка $(-2; 0)$. - На промежутке $(-\infty; -3)$ для кубической параболы выполнено $y = (x + 2)^3 < (-3 + 2)^3 = -1$, в то время как для первой функции $y = (x + 3)^{-\frac{2}{3}} - 1 > -1$ (так как $(x+3)^{-\frac{2}{3}} > 0$). Значит, при $x < -3$ графики не пересекаются. Таким образом, система имеет единственное решение: $(-2; 0)$. Ответ: $(-2; 0)$.