ГДЗ по алгебре 11 класс Александрова самостоятельные работы (Мордкович) Базовый уровень С-10. вариант - 3

### 1. Вычисление производных функций Для нахождения производных воспользуемся формулами: - $(x^\alpha)' = \alpha x^{\alpha - 1}$; - $(c \cdot u)' = c \cdot u'$; - $(u \pm v)' = u' \pm v'$; - производной сложной функции: $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$. --- **а)** $y = x^{-\frac{4}{7}} - \frac{1}{x}$ Перепишем слагаемое $\frac{1}{x}$ в виде степени с отрицательным показателем: $\frac{1}{x} = x^{-1}$. $$ y = x^{-\frac{4}{7}} - x^{-1} $$ Дифференцируем каждое слагаемое: $$ y' = \left(x^{-\frac{4}{7}}\right)' - \left(x^{-1}\right)' $$ $$ y' = -\frac{4}{7}x^{-\frac{4}{7} - 1} - (-1)x^{-1 - 1} = -\frac{4}{7}x^{-\frac{11}{7}} + x^{-2} $$ Запишем результат в виде дробей и корней: $$ y' = -\frac{4}{7\sqrt[7]{x^{11}}} + \frac{1}{x^2} = -\frac{4}{7x\sqrt[7]{x^4}} + \frac{1}{x^2} $$ **Ответ:** $y' = -\frac{4}{7}x^{-\frac{11}{7}} + \frac{1}{x^2}$ (или $-\frac{4}{7x\sqrt[7]{x^4}} + \frac{1}{x^2}$). --- **б)** $y = \sqrt[3]{x^2} (x^{0{,}75} + 1)$ Представим корни и десятичные дроби в виде рациональных степеней: $\sqrt[3]{x^2} = x^{\frac{2}{3}}$, $0{,}75 = \frac{3}{4}$, значит $x^{0{,}75} = x^{\frac{3}{4}}$. Раскроем скобки перед дифференцированием: $$ y = x^{\frac{2}{3}}\left(x^{\frac{3}{4}} + 1\right) = x^{\frac{2}{3} + \frac{3}{4}} + x^{\frac{2}{3}} $$ Сложим показатели: $\frac{2}{3} + \frac{3}{4} = \frac{8 + 9}{12} = \frac{17}{12}$. $$ y = x^{\frac{17}{12}} + x^{\frac{2}{3}} $$ Находим производную: $$ y' = \left(x^{\frac{17}{12}}\right)' + \left(x^{\frac{2}{3}}\right)' = \frac{17}{12}x^{\frac{17}{12} - 1} + \frac{2}{3}x^{\frac{2}{3} - 1} = \frac{17}{12}x^{\frac{5}{12}} + \frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}} $$ Запишем результат через корни: $$ y' = \frac{17}{12}\sqrt[12]{x^5} + \frac{2}{3\sqrt[3]{x}} $$ **Ответ:** $y' = \frac{17}{12}x^{\frac{5}{12}} + \frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}}$ (или $\frac{17}{12}\sqrt[12]{x^5} + \frac{2}{3\sqrt[3]{x}}$). --- **в)** $y = \sqrt[6]{x^5} + 4$ Представим корень в виде степени с рациональным показателем: $\sqrt[6]{x^5} = x^{\frac{5}{6}}$. $$ y = x^{\frac{5}{6}} + 4 $$ Находим производную (производная константы равна нулю): $$ y' = \left(x^{\frac{5}{6}}\right)' + (4)' = \frac{5}{6}x^{\frac{5}{6} - 1} + 0 = \frac{5}{6}x^{-\frac{1}{6}} = \frac{5}{6\sqrt[6]{x}} $$ **Ответ:** $y' = \frac{5}{6}x^{-\frac{1}{6}}$ (или $\frac{5}{6\sqrt[6]{x}}$). --- **г)** $y = 4(3x - 1)^{\frac{3}{4}}$ Применим правило дифференцирования сложной функции: $$ y' = 4 \cdot \frac{3}{4}(3x - 1)^{\frac{3}{4} - 1} \cdot (3x - 1)' $$ $$ y' = 3(3x - 1)^{-\frac{1}{4}} \cdot 3 = 9(3x - 1)^{-\frac{1}{4}} $$ Запишем результат в виде корня в знаменателе: $$ y' = \frac{9}{\sqrt[4]{3x - 1}} $$ **Ответ:** $y' = 9(3x - 1)^{-\frac{1}{4}}$ (или $\frac{9}{\sqrt[4]{3x - 1}}$). --- ### 2. Нахождение скорости изменения функции Скорость изменения функции в заданной точке равна значению производной этой функции в данной точке: $v = y'(x_0)$. 1. Перепишем функцию в виде степени: $$ y = (3x)^{\frac{1}{3}} - 4 $$ 2. Найдем производную по правилу дифференцирования сложной функции: $$ y' = \left((3x)^{\frac{1}{3}} - 4\right)' = \frac{1}{3}(3x)^{\frac{1}{3} - 1} \cdot (3x)' - 0 $$ $$ y' = \frac{1}{3}(3x)^{-\frac{2}{3}} \cdot 3 = (3x)^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{\sqrt[3]{(3x)^2}} $$ 3. Вычислим значение производной в точке $x = 4$: $$ y'(4) = (3 \cdot 4)^{-\frac{2}{3}} = 12^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{\sqrt[3]{12^2}} = \frac{1}{\sqrt[3]{144}} $$ Упростим подкоренное выражение: $144 = 8 \cdot 18 = 2^3 \cdot 18$, следовательно: $$ y'(4) = \frac{1}{2\sqrt[3]{18}} $$ **Ответ:** $\frac{1}{\sqrt[3]{144}}$ (или $\frac{1}{2\sqrt[3]{18}}$).