ГДЗ по алгебре 11 класс Александрова самостоятельные работы (Мордкович) Базовый уровень С-8. вариант - 3

### 1. Сократите дробь: **a)** $\frac{x - x^{\frac{5}{7}}}{x^{\frac{4}{7}} - 1}$ Представим $x$ в числителе как $x^{\frac{7}{7}}$ и вынесем общий множитель $x^{\frac{5}{7}}$ за скобки: $$ x - x^{\frac{5}{7}} = x^{\frac{5}{7}} \left(x^{\frac{2}{7}} - 1\right) $$ Знаменатель разложим по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, учитывая, что $x^{\frac{4}{7}} = \left(x^{\frac{2}{7}}\right)^2$: $$ x^{\frac{4}{7}} - 1 = \left(x^{\frac{2}{7}} - 1\right)\left(x^{\frac{2}{7}} + 1\right) $$ Подставим полученные выражения в дробь и выполним сокращение на $\left(x^{\frac{2}{7}} - 1\right)$: $$ \frac{x - x^{\frac{5}{7}}}{x^{\frac{4}{7}} - 1} = \frac{x^{\frac{5}{7}}\left(x^{\frac{2}{7}} - 1\right)}{\left(x^{\frac{2}{7}} - 1\right)\left(x^{\frac{2}{7}} + 1\right)} = \frac{x^{\frac{5}{7}}}{x^{\frac{2}{7}} + 1} $$ Ответ: $\frac{x^{\frac{5}{7}}}{x^{\frac{2}{7}} + 1}$ --- **b)** $\frac{1 - m^{1,5}}{1 + m^{0,5} + m}$ Заметим, что $m^{1,5} = \left(m^{0,5}\right)^3$, а $m = \left(m^{0,5}\right)^2$. Разложим числитель по формуле разности кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$: $$ 1 - m^{1,5} = 1^3 - \left(m^{0,5}\right)^3 = \left(1 - m^{0,5}\right)\left(1 + m^{0,5} + \left(m^{0,5}\right)^2\right) = \left(1 - m^{0,5}\right)\left(1 + m^{0,5} + m\right) $$ Подставим разложение в дробь и сократим на выражение $\left(1 + m^{0,5} + m\right)$: $$ \frac{1 - m^{1,5}}{1 + m^{0,5} + m} = \frac{\left(1 - m^{0,5}\right)\left(1 + m^{0,5} + m\right)}{1 + m^{0,5} + m} = 1 - m^{0,5} $$ Ответ: $1 - m^{0,5}$ --- ### 2. Докажите, что $f(27x^3) = g^2(x)$ По условию заданы функции: $$ f(x) = x^{-\frac{2}{3}}, \quad g(x) = \frac{1}{3}x^{-1} $$ 1) Найдем значение выражения $f(27x^3)$, подставив аргумент $27x^3$ вместо $x$ в формулу функции $f(x)$: $$ f(27x^3) = \left(27x^3\right)^{-\frac{2}{3}} $$ Представим $27x^3$ в виде куба: $27x^3 = 3^3 \cdot x^3 = (3x)^3$. Используем свойство степени $\left(a^n\right)^m = a^{n \cdot m}$: $$ f(27x^3) = \left((3x)^3\right)^{-\frac{2}{3}} = (3x)^{3 \cdot \left(-\frac{2}{3}\right)} = (3x)^{-2} = \frac{1}{(3x)^2} = \frac{1}{9x^2} = \frac{1}{9}x^{-2} $$ 2) Найдем значение выражения $g^2(x) = (g(x))^2$: $$ g^2(x) = \left(\frac{1}{3}x^{-1}\right)^2 = \left(\frac{1}{3}\right)^2 \cdot \left(x^{-1}\right)^2 = \frac{1}{9} \cdot x^{-1 \cdot 2} = \frac{1}{9}x^{-2} = \frac{1}{9x^2} $$ 3) Сравним полученные результаты: $$ f(27x^3) = \frac{1}{9}x^{-2} \quad \text{и} \quad g^2(x) = \frac{1}{9}x^{-2} $$ Так как левая и правая части равны одному и тому же выражению, то равенство $f(27x^3) = g^2(x)$ верно при всех допустимых значениях переменной $x$ ($x \neq 0$). Что и требовалось доказать.