ГДЗ по алгебре 11 класс Александрова самостоятельные работы (Мордкович) Базовый уровень С-8. вариант - 1

1. Сократите дробь: а) $\frac{m - 2m^{0,5}}{m^{0,5} - 2}$ Вынесем в числителе общий множитель $m^{0,5}$ за скобки, учитывая, что $m = (m^{0,5})^2$: $$ \frac{m - 2m^{0,5}}{m^{0,5} - 2} = \frac{m^{0,5}(m^{0,5} - 2)}{m^{0,5} - 2} = m^{0,5} $$ (или $\sqrt{m}$ при $m \ge 0$, $m \neq 4$). Ответ: $m^{0,5}$ (или $\sqrt{m}$). б) $\frac{1 + a^{\frac{2}{3}}}{1 - a^{\frac{2}{3}}}$ Данная дробь является несократимой, так как многочлены в числителе и знаменателе не имеют общих множителей. *Примечание:* если в знаменателе содержится опечатка и исходное выражение имеет вид $\frac{1 + a^{\frac{2}{3}}}{1 - a^{\frac{4}{3}}}$, то знаменатель раскладывается по формуле разности квадратов $1 - a^{\frac{4}{3}} = 1^2 - (a^{\frac{2}{3}})^2 = (1 - a^{\frac{2}{3}})(1 + a^{\frac{2}{3}})$: $$ \frac{1 + a^{\frac{2}{3}}}{1 - a^{\frac{4}{3}}} = \frac{1 + a^{\frac{2}{3}}}{(1 - a^{\frac{2}{3}})(1 + a^{\frac{2}{3}})} = \frac{1}{1 - a^{\frac{2}{3}}} $$ Ответ: дробь $\frac{1 + a^{\frac{2}{3}}}{1 - a^{\frac{2}{3}}}$ несократима (в случае опечатки в условии: $\frac{1}{1 - a^{\frac{2}{3}}}$). --- 2. Известно, что $f(x) = x^{\frac{3}{2}}$, $g(x) = x^3$. Докажите, что $f(4x^2) = g(2x)$. **Доказательство:** Функция $f(x) = x^{\frac{3}{2}}$ определена при $x \ge 0$. 1) Найдем значение функции $f(4x^2)$, подставив аргумент $4x^2$ в формулу функции $f(x)$: $$ f(4x^2) = (4x^2)^{\frac{3}{2}} $$ Используя свойства степени произведения $(ab)^n = a^n \cdot b^n$ и степени степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$: $$ f(4x^2) = 4^{\frac{3}{2}} \cdot (x^2)^{\frac{3}{2}} = (2^2)^{\frac{3}{2}} \cdot x^{2 \cdot \frac{3}{2}} = 2^{2 \cdot \frac{3}{2}} \cdot x^3 = 2^3 \cdot x^3 = 8x^3 $$ 2) Найдем значение функции $g(2x)$, подставив аргумент $2x$ в формулу функции $g(x)$: $$ g(2x) = (2x)^3 = 2^3 \cdot x^3 = 8x^3 $$ 3) Сравним полученные выражения: $$ f(4x^2) = 8x^3 \quad \text{и} \quad g(2x) = 8x^3 $$ Следовательно, $f(4x^2) = g(2x)$, что и требовалось доказать.