ГДЗ по алгебре 11 класс Александрова самостоятельные работы (Мордкович) Базовый уровень С-41. вариант - 3

Дано показательное уравнение с параметром: $$4^x - 2^{x+2} + 4a - a^2 = 0$$ Преобразуем степени с основанием $2$: $$4^x = (2^x)^2, \quad 2^{x+2} = 2^x \cdot 2^2 = 4 \cdot 2^x$$ Уравнение принимает вид: $$(2^x)^2 - 4 \cdot 2^x + 4a - a^2 = 0$$ Введем замену переменной: пусть $t = 2^x$. Так как показательная функция принимает только положительные значения, то $t > 0$. Каждому положительному значению $t$ соответствует единственное значение $x = \log_2 t$. Следовательно, исходное уравнение имеет один корень тогда и только тогда, когда полученное квадратное уравнение относительно $t$ имеет ровно один положительный корень: $$t^2 - 4t + 4a - a^2 = 0$$ Найдем корни квадратного уравнения с помощью дискриминанта: $$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (4a - a^2) = 16 - 16a + 4a^2 = 4(a^2 - 4a + 4) = 4(a - 2)^2$$ Так как $(a - 2)^2 \ge 0$, дискриминант неотрицателен при любых $a$, то есть уравнение всегда имеет действительные корни: $$t_{1, 2} = \frac{4 \pm \sqrt{4(a - 2)^2}}{2} = \frac{4 \pm 2(a - 2)}{2} = 2 \pm (a - 2)$$ $$t_1 = 2 + (a - 2) = a$$ $$t_2 = 2 - (a - 2) = 4 - a$$ Рассмотрим случаи, когда среди корней $t_1$ и $t_2$ ровно один строго больше нуля: 1. **Корни совпадают ($D = 0$) и корень положителен:** $$t_1 = t_2 \iff a = 4 - a \iff 2a = 4 \iff a = 2$$ При $a = 2$ получаем $t_1 = t_2 = 2 > 0$. Тогда $2^x = 2 \implies x = 1$ — единственный корень. Значит, значение $a = 2$ подходит. 2. **Корни различны, при этом один корень положителен, а второй неположителен:** * Подслучай $t_1 > 0$ и $t_2 \le 0$: $$\begin{cases} a > 0 \\ 4 - a \le 0 \end{cases} \iff \begin{cases} a > 0 \\ a \ge 4 \end{cases} \iff a \ge 4$$ При $a \ge 4$ корень $t_1 = a > 0$, а корень $t_2 = 4 - a \le 0$. Уравнение имеет единственный положительный корень. * Подслучай $t_1 \le 0$ и $t_2 > 0$: $$\begin{cases} a \le 0 \\ 4 - a > 0 \end{cases} \iff \begin{cases} a \le 0 \\ a < 4 \end{cases} \iff a \le 0$$ При $a \le 0$ корень $t_1 = a \le 0$, а корень $t_2 = 4 - a > 0$. Уравнение также имеет единственный положительный корень. Объединяя все найденные значения параметра $a$, получаем: $$a \in (-\infty; 0] \cup \{2\} \cup [4; +\infty)$$ Ответ: $a \in (-\infty; 0] \cup \{2\} \cup [4; +\infty)$.