ГДЗ по алгебре 11 класс Александрова самостоятельные работы (Мордкович) Базовый уровень С-41. вариант - 1

Преобразуем исходное уравнение: $$ (2^x)^2 - 4 \cdot 2^x + (4a - a^2) = 0 $$ Введём замену переменной: пусть $t = 2^x$. Так как показательная функция принимает только положительные значения, то $t > 0$. При этом каждому значению $t > 0$ соответствует единственное значение $x = \log_2 t$. Получаем квадратное уравнение относительно $t$: $$ t^2 - 4t + (4a - a^2) = 0 $$ Исходное уравнение будет иметь два корня тогда и только тогда, когда полученное квадратное уравнение имеет два различных положительных корня ($t_1 > 0$, $t_2 > 0$, $t_1 \neq t_2$). Для этого необходимо и достаточно выполнения системы условий: $$ \begin{cases} D > 0 \\ t_1 + t_2 > 0 \\ t_1 \cdot t_2 > 0 \end{cases} $$ 1. Найдём дискриминант уравнения (используем $D_1 = \frac{D}{4}$): $$ \frac{D}{4} = (-2)^2 - 1 \cdot (4a - a^2) = 4 - 4a + a^2 = (a - 2)^2 $$ Условие строго положительного дискриминанта: $$ (a - 2)^2 > 0 \iff a \neq 2 $$ 2. По теореме Виета для корней уравнения: - Сумма корней: $t_1 + t_2 = 4 > 0$ — условие выполняется при любых значениях параметра $a$. - Произведение корней: $t_1 \cdot t_2 = 4a - a^2$. Потребуем, чтобы произведение корней было положительным: $$ 4a - a^2 > 0 $$ $$ a^2 - 4a < 0 $$ $$ a(a - 4) < 0 $$ Решением этого неравенства является интервал: $$ a \in (0; 4) $$ 3. Объединим найденные условия в систему: $$ \begin{cases} a \in (0; 4) \\ a \neq 2 \end{cases} $$ Отсюда получаем: $$ a \in (0; 2) \cup (2; 4) $$ Ответ: $a \in (0; 2) \cup (2; 4)$.