ГДЗ по алгебре 11 класс Александрова самостоятельные работы (Мордкович) Базовый уровень С-40. вариант - 4

### 1. Дано квадратное уравнение: $$ x^2 + 2px + p^2 + 8p + 7 = 0 $$ Уравнение имеет два различных положительных корня ($x_1 > 0$, $x_2 > 0$, $x_1 \neq x_2$) тогда и только тогда, когда одновременно выполняются три условия: 1. Дискриминант положителен ($D > 0$ или $D_1 = \frac{D}{4} > 0$). 2. Произведение корней положительно ($x_1 x_2 > 0$). 3. Сумма корней положительна ($x_1 + x_2 > 0$). По теореме Виета для приведенного квадратного уравнения: $x_1 + x_2 = -2p$, $x_1 x_2 = p^2 + 8p + 7$. Найдем четверть дискриминанта: $$ \frac{D}{4} = p^2 - 1 \cdot (p^2 + 8p + 7) = p^2 - p^2 - 8p - 7 = -8p - 7 $$ Составим систему неравенств: $$ \begin{cases} -8p - 7 > 0 \\ -2p > 0 \\ p^2 + 8p + 7 > 0 \end{cases} $$ Решим каждое неравенство системы: 1. $-8p - 7 > 0 \iff -8p > 7 \iff p < -\frac{7}{8}$. 2. $-2p > 0 \iff p < 0$. 3. $p^2 + 8p + 7 > 0$. Найдем корни квадратного трехчлена: $p^2 + 8p + 7 = 0 \iff (p + 1)(p + 7) = 0 \iff p_1 = -7, \; p_2 = -1$. Решением неравенства является объединение интервалов: $p \in (-\infty; -7) \cup (-1; +\infty)$. Пересечем полученные решения: $$ \begin{cases} p < -\frac{7}{8} \\ p < 0 \\ p \in (-\infty; -7) \cup (-1; +\infty) \end{cases} $$ Так как $-\frac{7}{8} = -0{,}875$, а $-1 < -0{,}875 < 0$: - Пересечение $p < -\frac{7}{8}$ и $p < 0$ дает $p < -\frac{7}{8}$. - Пересечение $p < -\frac{7}{8}$ и $(-\infty; -7) \cup (-1; +\infty)$ дает: $$ p \in (-\infty; -7) \cup \left(-1; -\frac{7}{8}\right) $$ Ответ: $p \in (-\infty; -7) \cup \left(-1; -\frac{7}{8}\right)$. --- ### 2. Дано неравенство: $$ \sqrt{x^2 + 2x - 15}(x - a) \leqslant 0 $$ Найдем область допустимых значений (ОДЗ) неравенства: $$ x^2 + 2x - 15 \geqslant 0 $$ Разложим левую часть на множители: $x^2 + 2x - 15 = 0 \iff (x + 5)(x - 3) = 0 \iff x_1 = -5, \; x_2 = 3$. Значит, ОДЗ: $$ x \in (-\infty; -5] \cup [3; +\infty) $$ Произведение двух множителей неположительно, если хотя бы один из них равен нулю или они имеют противоположные знаки. Так как арифметический квадратный корень принимает только неотрицательные значения ($\sqrt{x^2 + 2x - 15} \geqslant 0$ при всех $x$ из ОДЗ), то: 1. При $\sqrt{x^2 + 2x - 15} = 0$ получаем: $x = -5$ или $x = 3$. Эти значения обращают левую часть неравенства в ноль, поэтому являются его решениями при любых значениях параметра $a$. 2. При $\sqrt{x^2 + 2x - 15} > 0$ (то есть при $x \in (-\infty; -5) \cup (3; +\infty)$) разделим обе части неравенства на положительное выражение $\sqrt{x^2 + 2x - 15}$: $$ x - a \leqslant 0 \iff x \leqslant a $$ Объединяя оба случая, получаем, что решение неравенства состоит из чисел $x \in \text{ОДЗ}$, удовлетворяющих условию $x \leqslant a$, а также точек $x = -5$ и $x = 3$. Рассмотрим возможные случаи расположения параметра $a$: 1. Если $a < -5$: Пересечение луча $(-\infty; a]$ с ОДЗ дает промежуток $(-\infty; a]$. Добавляя решения $x = -5$ и $x = 3$, получаем: $$ x \in (-\infty; a] \cup \{-5; 3\} $$ 2. Если $-5 \leqslant a < 3$: Пересечение луча $(-\infty; a]$ с ОДЗ дает промежуток $(-\infty; -5]$ (точка $x = -5$ входит в этот промежуток). Добавляя изолированную точку $x = 3$, получаем: $$ x \in (-\infty; -5] \cup \{3\} $$ 3. Если $a \geqslant 3$: Пересечение луча $(-\infty; a]$ с ОДЗ дает промежутки $(-\infty; -5] \cup [3; a]$ (точки $x = -5$ и $x = 3$ уже включены в эти промежутки). Получаем: $$ x \in (-\infty; -5] \cup [3; a] $$ Ответ: - при $a < -5$: $x \in (-\infty; a] \cup \{-5; 3\}$; - при $-5 \leqslant a < 3$: $x \in (-\infty; -5] \cup \{3\}$; - при $a \geqslant 3$: $x \in (-\infty; -5] \cup [3; a]$.