ГДЗ по алгебре 11 класс Александрова самостоятельные работы (Мордкович) Базовый уровень С-41. вариант - 4

Дано показательное уравнение с параметром: $$ 9^x - 3^{x+1} + 3a - a^2 = 0 $$ Преобразуем уравнение, используя свойства степеней $9^x = (3^x)^2$ и $3^{x+1} = 3 \cdot 3^x$: $$ (3^x)^2 - 3 \cdot 3^x + (3a - a^2) = 0 $$ Введём замену переменной: пусть $t = 3^x$. Так как показательная функция принимает только строго положительные значения, то $t > 0$. Получаем квадратное уравнение относительно $t$: $$ t^2 - 3t + (3a - a^2) = 0 $$ Каждому положительному значению $t$ ($t > 0$) соответствует ровно одно действительное значение $x = \log_3 t$. Если $t \le 0$, то уравнение $3^x = t$ не имеет действительных корней. Следовательно, исходное уравнение имеет ровно один корень тогда и только тогда, когда полученное квадратное уравнение имеет ровно один положительный корень. Найдём дискриминант квадратного уравнения: $$ D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (3a - a^2) = 9 - 12a + 4a^2 = (2a - 3)^2 $$ Так как $(2a - 3)^2 \ge 0$ при любых действительных $a$, корни уравнения всегда действительные: $$ t_{1, 2} = \frac{3 \pm \sqrt{(2a - 3)^2}}{2} = \frac{3 \pm (2a - 3)}{2} $$ Отсюда: $$ t_1 = \frac{3 + (2a - 3)}{2} = a $$ $$ t_2 = \frac{3 - (2a - 3)}{2} = 3 - a $$ Заметим, что сумма корней $t_1 + t_2 = a + (3 - a) = 3 > 0$, поэтому оба корня одновременно не могут быть неположительными (хотя бы один из корней всегда строго положителен). Рассмотрим возможные случаи, при которых уравнение имеет ровно один положительный корень: 1. Корни совпадают и являются положительными ($t_1 = t_2 > 0$): $$ a = 3 - a \implies 2a = 3 \implies a = 1{,}5 $$ При $a = 1{,}5$ получаем единственный корень $t = 1{,}5 > 0$, что даёт ровно один корень исходного уравнения ($x = \log_3 1{,}5$). 2. Корни различны, при этом один корень строго положителен, а второй неположителен ($t \le 0$): - Первый случай: $t_1 \le 0$ и $t_2 > 0$: $$ \begin{cases} a \le 0 \\ 3 - a > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} a \le 0 \\ a < 3 \end{cases} \implies a \le 0 $$ - Второй случай: $t_2 \le 0$ и $t_1 > 0$: $$ \begin{cases} 3 - a \le 0 \\ a > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} a \ge 3 \\ a > 0 \end{cases} \implies a \ge 3 $$ Объединяя все найденные значения параметра $a$, получаем: $$ a \in (-\infty; 0] \cup \{1{,}5\} \cup [3; +\infty) $$ Ответ: $a \in (-\infty; 0] \cup \{1{,}5\} \cup [3; +\infty)$ (или $a \le 0$, $a = 1{,}5$, $a \ge 3$).