ГДЗ по алгебре 11 класс Александрова самостоятельные работы (Мордкович) Базовый уровень С-42. вариант - 2

### 1. Вычисление площади фигуры Найдем абсциссы точек пересечения графиков функций $y = -2x^2 + 4x$ и $y = -x + 2$: $$ -2x^2 + 4x = -x + 2 $$ $$ 2x^2 - 5x + 2 = 0 $$ $$ D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9 = 3^2 $$ $$ x_1 = \frac{5 - 3}{4} = \frac{1}{2}, \quad x_2 = \frac{5 + 3}{4} = 2 $$ На отрезке $[0{,}5; 2]$ парабола $y = -2x^2 + 4x$ расположена выше прямой $y = -x + 2$ (ветви параболы направлены вниз). Площадь $S$ фигуры равна интегралу: $$ S = \int_{0{,}5}^{2} \left((-2x^2 + 4x) - (-x + 2)\right) dx = \int_{0{,}5}^{2} (-2x^2 + 5x - 2) dx $$ Найдем первообразную: $$ F(x) = -\frac{2}{3}x^3 + \frac{5}{2}x^2 - 2x $$ По формуле Ньютона — Лейбница: $$ F(2) = -\frac{2}{3} \cdot 8 + \frac{5}{2} \cdot 4 - 2 \cdot 2 = -\frac{16}{3} + 10 - 4 = 6 - \frac{16}{3} = \frac{2}{3} $$ $$ F\left(\frac{1}{2}\right) = -\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{8} + \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{4} - 2 \cdot \frac{1}{2} = -\frac{1}{12} + \frac{5}{8} - 1 = \frac{-2 + 15 - 24}{24} = -\frac{11}{24} $$ $$ S = F(2) - F\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{2}{3} - \left(-\frac{11}{24}\right) = \frac{16}{24} + \frac{11}{24} = \frac{27}{24} = \frac{9}{8} = 1{,}125 $$ **Ответ:** $1{,}125$ --- ### 2. Решение показательного уравнения $$ 5^{x+1} - 3 \cdot 5^{x-2} = 122 $$ Вынесем общий множитель $5^{x-2}$ за скобки: $$ 5^{x-2} \cdot (5^3 - 3) = 122 $$ $$ 5^{x-2} \cdot (125 - 3) = 122 $$ $$ 5^{x-2} \cdot 122 = 122 $$ Разделим обе части уравнения на $122$: $$ 5^{x-2} = 1 $$ $$ 5^{x-2} = 5^0 $$ $$ x - 2 = 0 \implies x = 2 $$ **Ответ:** $2$ --- ### 3. Решение логарифмического неравенства $$ \log_8(x^2 - 4x + 3) < 1 $$ Так как основание логарифма $8 > 1$, функция $y = \log_8 t$ монотонно возрастает. Перейдем к равносильной системе неравенств: $$ \begin{cases} x^2 - 4x + 3 > 0 \\ x^2 - 4x + 3 < 8^1 \end{cases} $$ 1. Решим первое неравенство: $$ x^2 - 4x + 3 > 0 \iff (x - 1)(x - 3) > 0 \iff x \in (-\infty; 1) \cup (3; +\infty) $$ 2. Решим второе неравенство: $$ x^2 - 4x + 3 < 8 \iff x^2 - 4x - 5 < 0 \iff (x + 1)(x - 5) < 0 \iff x \in (-1; 5) $$ 3. Найдем пересечение полученных промежутков: $$ x \in (-1; 1) \cup (3; 5) $$ **Ответ:** $(-1; 1) \cup (3; 5)$ --- ### 4. Уравнение касательной к графику функции Дана функция $y = \ln(x - 2) + 6\sqrt{x} + 6$, точка касания $x_0 = 3$. Уравнение касательной имеет вид: $$ y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) $$ 1. Найдем значение функции в точке $x_0 = 3$: $$ f(3) = \ln(3 - 2) + 6\sqrt{3} + 6 = \ln 1 + 6\sqrt{3} + 6 = 0 + 6\sqrt{3} + 6 = 6\sqrt{3} + 6 $$ 2. Найдем производную функции: $$ f'(x) = (\ln(x - 2))' + (6\sqrt{x})' + (6)' = \frac{1}{x - 2} + 6 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{x - 2} + \frac{3}{\sqrt{x}} $$ 3. Вычислим значение производной при $x_0 = 3$: $$ f'(3) = \frac{1}{3 - 2} + \frac{3}{\sqrt{3}} = 1 + \sqrt{3} $$ 4. Составим уравнение касательной: $$ y = 6\sqrt{3} + 6 + (1 + \sqrt{3})(x - 3) $$ $$ y = (1 + \sqrt{3})x - 3(1 + \sqrt{3}) + 6\sqrt{3} + 6 $$ $$ y = (1 + \sqrt{3})x - 3 - 3\sqrt{3} + 6\sqrt{3} + 6 $$ $$ y = (1 + \sqrt{3})x + 3\sqrt{3} + 3 $$ **Ответ:** $y = (1 + \sqrt{3})x + 3\sqrt{3} + 3$ --- ### 5. Исследование функции *Примечание:* В оригинальном сборнике самостоятельных работ Л. А. Александровой в формуле функции числитель содержит сомножитель $x^{\frac{1}{4}}$, то есть $f(x) = \frac{x^{\frac{1}{4}}(12 - x)^{\frac{3}{4}}}{x - 3}$. Ниже приведено решение для канонического условия сборника, а также указан результат для буквальной записи условия с $x^4$. #### а) Область определения функции Для функции $f(x) = \frac{x^{\frac{1}{4}}(12 - x)^{\frac{3}{4}}}{x - 3}$: - основания степеней с дробными положительными показателями должны быть неотрицательными: $x \ge 0$ и $12 - x \ge 0$; - знаменатель дроби не равен нулю: $x - 3 \ne 0$. Составим систему: $$ \begin{cases} x \ge 0 \\ 12 - x \ge 0 \\ x - 3 \ne 0 \end{cases} \iff \begin{cases} 0 \le x \le 12 \\ x \ne 3 \end{cases} $$ Таким образом: $$ D(f) = [0; 3) \cup (3; 12] $$ *(Если рассматривать функцию строго в виде $f(x) = \frac{x^4(12 - x)^{\frac{3}{4}}}{x - 3}$, то условие $x \ge 0$ отсутствует, и область определения: $x \in (-\infty; 3) \cup (3; 12]$)*. #### б) Значение выражения $(f(6 - x) \cdot f(6 + x))^2$ при $x = 3\sqrt{2}$ Для функции $f(x) = \frac{x^{\frac{1}{4}}(12 - x)^{\frac{3}{4}}}{x - 3}$ найдем выражения $f(6 - x)$ и $f(6 + x)$: $$ f(6 - x) = \frac{(6 - x)^{\frac{1}{4}}(12 - (6 - x))^{\frac{3}{4}}}{(6 - x) - 3} = \frac{(6 - x)^{\frac{1}{4}}(6 + x)^{\frac{3}{4}}}{3 - x} $$ $$ f(6 + x) = \frac{(6 + x)^{\frac{1}{4}}(12 - (6 + x))^{\frac{3}{4}}}{(6 + x) - 3} = \frac{(6 + x)^{\frac{1}{4}}(6 - x)^{\frac{3}{4}}}{3 + x} $$ Перемножим их: $$ f(6 - x) \cdot f(6 + x) = \frac{(6 - x)^{\frac{1}{4} + \frac{3}{4}} \cdot (6 + x)^{\frac{3}{4} + \frac{1}{4}}}{(3 - x)(3 + x)} = \frac{(6 - x)^1 \cdot (6 + x)^1}{9 - x^2} = \frac{36 - x^2}{9 - x^2} $$ При $x = 3\sqrt{2}$ получаем $x^2 = (3\sqrt{2})^2 = 18$. Оба значения $6 - 3\sqrt{2} \approx 1{,}76$ и $6 + 3\sqrt{2} \approx 10{,}24$ принадлежат области определения $D(f)$. Подставим $x^2 = 18$: $$ f(6 - x) \cdot f(6 + x) = \frac{36 - 18}{9 - 18} = \frac{18}{-9} = -2 $$ Тогда искомое значение: $$ (f(6 - x) \cdot f(6 + x))^2 = (-2)^2 = 4 $$ *(В случае буквальной записи $f(x) = \frac{x^4(12 - x)^{\frac{3}{4}}}{x - 3}$ произведение равно $\frac{(36 - x^2)^{\frac{19}{4}}}{9 - x^2} = \frac{18^{\frac{19}{4}}}{-9}$, а его квадрат равен $\frac{18^{\frac{19}{2}}}{81} = 7\,346\,640\,384\sqrt{2}$)*. **Ответ:** а) $[0; 3) \cup (3; 12]$ *(или $(-\infty; 3) \cup (3; 12]$ при буквенной записи условия)* б) $4$