ГДЗ по алгебре 11 класс Александрова самостоятельные работы (Мордкович) Базовый уровень С-40. вариант - 3

### Задание 1 Дано квадратное уравнение: $$ x^2 + 2px + p^2 - 6p + 8 = 0 $$ Коэффициенты уравнения: $a = 1$, $b = 2p$, $c = p^2 - 6p + 8$. Квадратное уравнение имеет два различных действительных отрицательных корня ($x_1 < 0$, $x_2 < 0$, $x_1 \neq x_2$) тогда и только тогда, когда одновременно выполняются три условия: 1. Дискриминант положителен: $D > 0$ (или $D_1 = \frac{D}{4} > 0$). 2. По теореме Виета сумма корней отрицательна: $x_1 + x_2 < 0 \implies -\frac{b}{a} < 0$. 3. По теореме Виета произведение корней положительно: $x_1 x_2 > 0 \implies \frac{c}{a} > 0$. Составим и решим систему неравенств: $$ \begin{cases} D_1 = p^2 - (p^2 - 6p + 8) > 0 \\ -2p < 0 \\ p^2 - 6p + 8 > 0 \end{cases} $$ 1. Решим первое неравенство: $$ p^2 - p^2 + 6p - 8 > 0 \implies 6p > 8 \implies p > \frac{4}{3} $$ 2. Решим второе неравенство: $$ -2p < 0 \implies p > 0 $$ 3. Решим третье неравенство: $$ p^2 - 6p + 8 > 0 $$ Корни квадратного трехчлена найдем по теореме Виета: $p_1 = 2$, $p_2 = 4$. Разложим на множители: $$ (p - 2)(p - 4) > 0 \implies p \in (-\infty; 2) \cup (4; +\infty) $$ Найдем пересечение решений всех трех неравенств: $$ \begin{cases} p > \frac{4}{3} \\ p > 0 \\ p \in (-\infty; 2) \cup (4; +\infty) \end{cases} \implies p \in \left(\frac{4}{3}; 2\right) \cup (4; +\infty) $$ Ответ: $p \in \left(\frac{4}{3}; 2\right) \cup (4; +\infty)$. --- ### Задание 2 Решим неравенство: $$ \sqrt{x^2 - 7x + 10}(x - a) \geqslant 0 $$ 1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ) неравенства: $$ x^2 - 7x + 10 \geqslant 0 $$ Корни уравнения $x^2 - 7x + 10 = 0$: $x_1 = 2$, $x_2 = 5$. Решая неравенство методом интервалов, получаем: $$ (x - 2)(x - 5) \geqslant 0 \implies x \in (-\infty; 2] \cup [5; +\infty) $$ 2. Заметим, что при $x = 2$ и $x = 5$ квадратный корень равен нулю, следовательно, левая часть неравенства равна нулю. Равенство $0 \geqslant 0$ является верным независимо от значения параметра $a$. Значит, точки $x = 2$ и $x = 5$ являются решениями неравенства при любых значениях $a$. 3. При $x \in (-\infty; 2) \cup (5; +\infty)$ значение корня строго положительно: $\sqrt{x^2 - 7x + 10} > 0$. Разделив обе части неравенства на положительное выражение $\sqrt{x^2 - 7x + 10}$, получаем: $$ x - a \geqslant 0 \iff x \geqslant a $$ Таким образом, для каждого значения параметра $a$ решением является объединение множеств $\{2; 5\}$ и решения системы: $$ \begin{cases} x \geqslant a \\ x \in (-\infty; 2) \cup (5; +\infty) \end{cases} $$ Рассмотрим возможные случаи расположения параметра $a$ на числовой прямой: - **Случай 1:** $a \leqslant 2$. Условие $x \geqslant a$ на ОДЗ дает промежутки $[a; 2)$ и $[5; +\infty)$. С учетом решений $x = 2$ и $x = 5$ получаем: $$ x \in [a; 2] \cup [5; +\infty) $$ - **Случай 2:** $2 < a \leqslant 5$. В интервале $(-\infty; 2)$ решений нет, так как $x < 2 < a$. В промежутке $(5; +\infty)$ условие $x \geqslant a$ выполняется для всех $x$, так как $x > 5 \geqslant a$. С учетом решений $x = 2$ и $x = 5$ получаем: $$ x \in \{2\} \cup [5; +\infty) $$ - **Случай 3:** $a > 5$. В интервале $(-\infty; 2)$ решений нет. В промежутке $(5; +\infty)$ условие $x \geqslant a$ задает луч $[a; +\infty)$. С учетом изолированных решений $x = 2$ и $x = 5$ получаем: $$ x \in \{2; 5\} \cup [a; +\infty) $$ Ответ: - при $a \leqslant 2$: $x \in [a; 2] \cup [5; +\infty)$; - при $2 < a \leqslant 5$: $x \in \{2\} \cup [5; +\infty)$; - при $a > 5$: $x \in \{2; 5\} \cup [a; +\infty)$.