ГДЗ по алгебре 11 класс Александрова самостоятельные работы (Мордкович) Базовый уровень С-34. вариант - 2

**1.** Докажем, что уравнение $\sqrt{16 - x^2} \cdot \log_3(x^2 + x - 20) = 0$ не имеет корней. Произведение двух множителей может быть равно нулю только для тех значений $x$, при которых оба множителя имеют смысл, то есть на области допустимых значений (ОДЗ) уравнения. Найдем ОДЗ исходного уравнения: 1) Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным: $$ 16 - x^2 \ge 0 $$ $$ x^2 \le 16 \iff -4 \le x \le 4 \iff x \in [-4; 4] $$ 2) Аргумент логарифма должен быть строго положительным: $$ x^2 + x - 20 > 0 $$ Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 + x - 20 = 0$ по теореме Виета: $$ x_1 = -5, \quad x_2 = 4 $$ Решением неравенства $(x + 5)(x - 4) > 0$ является: $$ x \in (-\infty; -5) \cup (4; +\infty) $$ 3) ОДЗ уравнения представляет собой пересечение полученных множеств: $$ x \in [-4; 4] \cap ((-\infty; -5) \cup (4; +\infty)) = \varnothing $$ Так как область допустимых значений уравнения является пустым множеством, уравнение не определено ни при каких действительных значениях $x$. Следовательно, уравнение не имеет корней, что и требовалось доказать. --- **2.** Решим уравнение $\sqrt{x^4 + 2x^2 - 15} = x^2 - 1$. По теореме о равносильности иррациональных уравнений, уравнение вида $\sqrt{f(x)} = g(x)$ равносильно системе: $$ \begin{cases} g(x) \ge 0, \\ f(x) = (g(x))^2. \end{cases} $$ Условие $f(x) \ge 0$ выполняется автоматически, так как $f(x) = (g(x))^2 \ge 0$. Составим равносильную систему: $$ \begin{cases} x^2 - 1 \ge 0, \\ x^4 + 2x^2 - 15 = (x^2 - 1)^2. \end{cases} $$ Преобразуем второе уравнение системы: $$ x^4 + 2x^2 - 15 = x^4 - 2x^2 + 1 $$ $$ 2x^2 - 15 = -2x^2 + 1 $$ $$ 4x^2 = 16 $$ $$ x^2 = 4 $$ $$ x = \pm 2 $$ Проверим условие $x^2 - 1 \ge 0$ для найденных значений: при $x = \pm 2$ имеем $x^2 - 1 = 4 - 1 = 3 \ge 0$ — верно. Значит, корнями уравнения являются $x_1 = -2$ и $x_2 = 2$. Найдем сумму корней: $$ x_1 + x_2 = -2 + 2 = 0 $$ Ответ: 0