ГДЗ по алгебре 11 класс Александрова самостоятельные работы (Мордкович) Базовый уровень С-34. вариант - 4

**1.** Докажем, что уравнение $\sqrt{\frac{3 - x}{x - 2}} \cdot \lg(x^2 - 3x) = 0$ не имеет корней. Уравнение определено только для тех значений $x$, при которых оба множителя имеют смысл. Найдем область допустимых значений (ОДЗ) уравнения: 1) Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным, а знаменатель дроби не равен нулю: $$ \frac{3 - x}{x - 2} \ge 0 \iff \frac{x - 3}{x - 2} \le 0 $$ Решим неравенство методом интервалов: $x \in (2; 3]$. 2) Выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным: $$ x^2 - 3x > 0 \iff x(x - 3) > 0 $$ Решением этого неравенства является: $x \in (-\infty; 0) \cup (3; +\infty)$. 3) ОДЗ уравнения представляет собой пересечение найденных множеств: $$ (2; 3] \cap \bigl((-\infty; 0) \cup (3; +\infty)\bigr) = \varnothing $$ Так как область допустимых значений уравнения — пустое множество, уравнение не определено ни при каких действительных значениях $x$. Следовательно, данное уравнение не имеет корней, что и требовалось доказать. --- **2.** Решим уравнение: $$ (x^2 - 16)(\sqrt{10 - 3x} - x) = 0 $$ Произведение двух выражений равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а второй при этом имеет смысл. Выражение $\sqrt{10 - 3x}$ имеет смысл при условии $10 - 3x \ge 0$, то есть $x \le \frac{10}{3}$. Используя теоремы о равносильности, перейдем к системе: $$ \begin{cases} 10 - 3x \ge 0, \\ \left[ \begin{aligned} & x^2 - 16 = 0, \\ & \sqrt{10 - 3x} - x = 0. \end{aligned} \right. \end{cases} $$ Решим уравнения совокупности: 1) $x^2 - 16 = 0$ $x^2 = 16 \implies x_1 = -4, \; x_2 = 4$. С учетом ограничения $x \le \frac{10}{3}$ ($x \le 3\frac{1}{3}$): - $x = -4 \le 3\frac{1}{3}$ — является корнем; - $x = 4 > 3\frac{1}{3}$ — посторонний корень. 2) $\sqrt{10 - 3x} - x = 0 \iff \sqrt{10 - 3x} = x$. По теореме о равносильности иррационального уравнения вида $\sqrt{f(x)} = g(x)$: $$ \sqrt{10 - 3x} = x \iff \begin{cases} x \ge 0, \\ 10 - 3x = x^2 \end{cases} $$ Преобразуем уравнение: $$ x^2 + 3x - 10 = 0 $$ По теореме Виета: $x_3 = 2, \; x_4 = -5$. С учетом условия $x \ge 0$: - $x = -5 < 0$ — посторонний корень; - $x = 2 \ge 0$ — является корнем (также удовлетворяет условию $x \le 3\frac{1}{3}$). Таким образом, корнями исходного уравнения являются числа $-4$ и $2$. Найдем произведение корней: $$ -4 \cdot 2 = -8 $$ **Ответ:** $-8$