ГДЗ по алгебре 11 класс Александрова самостоятельные работы (Мордкович) Базовый уровень С-33. вариант - 4

1. Рассмотрим события: $A$ — из первого мешка извлечён белый шар, $B$ — из второго мешка извлечён белый шар. В первом мешке всего $4 + 5 = 9$ шаров, из них $5$ белых. Вероятность извлечь белый шар из первого мешка: $$ P(A) = \frac{5}{9} $$ Во втором мешке всего $6 + 3 = 9$ шаров, из них $3$ белых. Вероятность извлечь белый шар из второго мешка: $$ P(B) = \frac{3}{9} = \frac{1}{3} $$ События $A$ и $B$ независимы. По теореме умножения вероятностей независимых событий, вероятность того, что оба вынутых шара окажутся белыми: $$ P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) = \frac{5}{9} \cdot \frac{1}{3} = \frac{5}{27} $$ Ответ: $\frac{5}{27}$. 2. Для нахождения вероятности воспользуемся геометрическим определением вероятности: $$ P = \frac{S_{\text{бл}}}{S_{\text{общ}}} $$ где $S_{\text{общ}}$ — площадь всей заданной фигуры, а $S_{\text{бл}}$ — площадь благоприятной области. 1) Найдём площадь фигуры, ограниченной параболой $y = 4 - x^2$ и осью абсцисс ($y = 0$). Точки пересечения параболы с осью абсцисс: $$ 4 - x^2 = 0 \implies x_1 = -2, \quad x_2 = 2 $$ На отрезке $[-2; 2]$ функция $y = 4 - x^2 \ge 0$. Вычислим площадь $S_{\text{общ}}$ с помощью определённого интеграла: $$ S_{\text{общ}} = \int_{-2}^{2} (4 - x^2)\,dx = \left.\left( 4x - \frac{x^3}{3} \right)\right|_{-2}^{2} = \left( 8 - \frac{8}{3} \right) - \left( -8 + \frac{8}{3} \right) = \frac{16}{3} - \left( -\frac{16}{3} \right) = \frac{32}{3} $$ 2) Найдём площадь области, лежащей выше прямой $y = x + 2$ внутри данной фигуры. Определим точки пересечения параболы $y = 4 - x^2$ и прямой $y = x + 2$: $$ 4 - x^2 = x + 2 $$ $$ x^2 + x - 2 = 0 $$ По теореме Виета: $$ x_1 = -2, \quad x_2 = 1 $$ При $x \in [-2; 1]$ прямая $y = x + 2 \ge 0$, а парабола лежит выше прямой ($4 - x^2 \ge x + 2$). Значит, благоприятная область ограничена сверху параболой, а снизу — прямой. Вычислим площадь $S_{\text{бл}}$: $$ S_{\text{бл}} = \int_{-2}^{1} ((4 - x^2) - (x + 2))\,dx = \int_{-2}^{1} (2 - x - x^2)\,dx $$ $$ S_{\text{бл}} = \left.\left( 2x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right)\right|_{-2}^{1} $$ Подставим пределы интегрирования: $$ \left( 2 - \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) - \left( 2(-2) - \frac{(-2)^2}{2} - \frac{(-2)^3}{3} \right) = \frac{7}{6} - \left( -4 - 2 + \frac{8}{3} \right) = \frac{7}{6} - \left( -\frac{10}{3} \right) = \frac{7}{6} + \frac{20}{6} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2} $$ 3) Найдём искомую вероятность: $$ P = \frac{S_{\text{бл}}}{S_{\text{общ}}} = \frac{\frac{9}{2}}{\frac{32}{3}} = \frac{9}{2} \cdot \frac{3}{32} = \frac{27}{64} $$ Ответ: $\frac{27}{64}$.