ГДЗ по алгебре 11 класс Александрова самостоятельные работы (Мордкович) Базовый уровень С-34. вариант - 3

### 1. Докажем, что уравнение не имеет корней, найдя его область допустимых значений (ОДЗ). Для существования выражений, входящих в уравнение, должны одновременно выполняться два условия: 1. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным: $$ x^2 - 3x - 4 \ge 0 $$ 2. Выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным: $$ \frac{x+1}{2-x} > 0 $$ Решим первое неравенство методом интервалов: $$ (x - 4)(x + 1) \ge 0 $$ $$ x \in (-\infty; -1] \cup [4; +\infty) $$ Решим второе неравенство методом интервалов: $$ \frac{x+1}{x-2} < 0 $$ $$ x \in (-1; 2) $$ Найдём пересечение полученных множеств: $$ ((-\infty; -1] \cup [4; +\infty)) \cap (-1; 2) = \emptyset $$ Область допустимых значений уравнения является пустым множеством, так как ни при каком значении $x$ оба множителя не могут быть определены одновременно (в частности, при $x = -1$ выражение под знаком логарифма равно нулю, а логарифм нуля не определён). Следовательно, исходное уравнение не имеет корней, что и требовалось доказать. --- ### 2. Решим уравнение: $$ (x^2 - 3x)(\sqrt{14 - 5x} - x) = 0 $$ 1. Найдём ОДЗ уравнения: $$ 14 - 5x \ge 0 \implies 5x \le 14 \implies x \le 2{,}8 $$ 2. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, а второй при этом имеет смысл: $$ x^2 - 3x = 0 \quad \text{или} \quad \sqrt{14 - 5x} - x = 0 $$ Рассмотрим первый множитель: $$ x(x - 3) = 0 $$ $$ x_1 = 0, \quad x_2 = 3 $$ С учётом ОДЗ ($x \le 2{,}8$): - $x = 0$ удовлетворяет условию $0 \le 2{,}8$, значит, является корнем. - $x = 3$ не удовлетворяет условию $3 \le 2{,}8$ (посторонний корень). Рассмотрим второй множитель: $$ \sqrt{14 - 5x} = x $$ Так как левая часть уравнения неотрицательна, правая часть также должна быть неотрицательной ($x \ge 0$). Возведём обе части уравнения в квадрат: $$ 14 - 5x = x^2 $$ $$ x^2 + 5x - 14 = 0 $$ По теореме Виета: $$ x_3 = -7, \quad x_4 = 2 $$ С учётом условий $x \ge 0$ и $x \le 2{,}8$: - $x = -7$ не подходит, так как $-7 < 0$. - $x = 2$ удовлетворяет условию $0 \le 2 \le 2{,}8$, значит, является корнем. Таким образом, корнями исходного уравнения являются числа $0$ и $2$. 3. Найдём сумму корней: $$ 0 + 2 = 2 $$ Ответ: 2