ГДЗ по алгебре 11 класс Александрова самостоятельные работы (Мордкович) Базовый уровень С-31. вариант - 2

1. По формуле связи между числом сочетаний и размещений: $$ C_n^k = \frac{A_n^k}{k!} $$ Отсюда отношение равно: $$ C_9^4 : A_9^4 = \frac{C_9^4}{A_9^4} = \frac{1}{4!} = \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4} = \frac{1}{24} $$ Или через вычисление каждого значения: $$ A_9^4 = 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 = 3024 $$ $$ C_9^4 = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 126 $$ $$ C_9^4 : A_9^4 = \frac{126}{3024} = \frac{1}{24} $$ Ответ: $\frac{1}{24}$. --- 2. Решим уравнение: $$ C_{x+2}^2 = 15 $$ Область допустимых значений: $x + 2 \ge 2$, где $x$ — целое неотрицательное число ($x \ge 0$). Используем формулу числа сочетаний $C_n^2 = \frac{n(n-1)}{2}$: $$ \frac{(x+2)(x+1)}{2} = 15 $$ $$ (x+2)(x+1) = 30 $$ $$ x^2 + 3x + 2 = 30 $$ $$ x^2 + 3x - 28 = 0 $$ По теореме Виета: $$ \begin{cases} x_1 + x_2 = -3\\ x_1 \cdot x_2 = -28 \end{cases} \implies x_1 = 4,\quad x_2 = -7 $$ Корень $x = -7$ не удовлетворяет условию $x \ge 0$ (число элементов не может быть отрицательным). Значит, $x = 4$. Ответ: $4$. --- 3. Так как требуется выбрать 3 плитки шоколада разного вида из 8 имеющихся, и порядок выбора значения не имеет, используем формулу числа сочетаний из 8 элементов по 3: $$ C_8^3 = \frac{8!}{3!(8-3)!} = \frac{8!}{3! \cdot 5!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 8 \cdot 7 = 56 $$ Ответ: 56 способов.