ГДЗ по алгебре 11 класс Александрова самостоятельные работы (Мордкович) Базовый уровень С-23. вариант - 2

### 1. Решите неравенство $\log_{\frac{1}{5}}(3x + 4) \geqslant -2$ и укажите его наименьшее целочисленное решение. **Решение:** 1. Найдём область допустимых значений (ОДЗ): $$ 3x + 4 > 0 \implies 3x > -4 \implies x > -\frac{4}{3} = -1\frac{1}{3} $$ 2. Так как основание логарифма $0 < \frac{1}{5} < 1$, то логарифмическая функция убывает. При переходе к подлогарифмическому выражению знак неравенства меняется на противоположный: $$ 3x + 4 \leqslant \left(\frac{1}{5}\right)^{-2} $$ $$ 3x + 4 \leqslant 5^2 $$ $$ 3x + 4 \leqslant 25 $$ $$ 3x \leqslant 21 \implies x \leqslant 7 $$ 3. Пересечём полученное решение с ОДЗ: $$ \begin{cases} x > -1\frac{1}{3} \\ x \leqslant 7 \end{cases} \implies x \in \left(-\frac{4}{3}; 7\right] $$ 4. Найдём наименьшее целочисленное решение. Целые числа, принадлежащие полученному промежутку: $-1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$. Наименьшим из них является $-1$. **Ответ:** $x \in \left(-\frac{4}{3}; 7\right]$; наименьшее целочисленное решение: $-1$. --- ### 2. Решите неравенство $\lg (x^2 + x - 20) < \lg (4x - 2)$ и укажите количество его целочисленных решений. **Решение:** 1. Найдём ОДЗ: $$ \begin{cases} x^2 + x - 20 > 0 \\ 4x - 2 > 0 \end{cases} $$ Решим первое неравенство: корнями квадратного трёхчлена $x^2 + x - 20$ по теореме Виета являются числа $-5$ и $4$. $$ (x + 5)(x - 4) > 0 \implies x \in (-\infty; -5) \cup (4; +\infty) $$ Решим второе неравенство: $$ 4x > 2 \implies x > 0{,}5 $$ Пересекая условия, получаем ОДЗ: $$ x \in (4; +\infty) $$ 2. Основание десятичного логарифма $10 > 1$, функция возрастает, поэтому знак неравенства сохраняется: $$ x^2 + x - 20 < 4x - 2 $$ $$ x^2 - 3x - 18 < 0 $$ Корни уравнения $x^2 - 3x - 18 = 0$: $x_1 = -3$, $x_2 = 6$. $$ (x + 3)(x - 6) < 0 \implies x \in (-3; 6) $$ 3. С учётом ОДЗ: $$ \begin{cases} x \in (4; +\infty) \\ x \in (-3; 6) \end{cases} \implies x \in (4; 6) $$ 4. Найдём количество целочисленных решений на интервале $(4; 6)$. В данный интервал входит только одно целое число: $x = 5$. Значит, количество целочисленных решений равно $1$. **Ответ:** $x \in (4; 6)$; количество целочисленных решений: $1$. --- ### 3. Решите неравенство $\log_{\frac{1}{6}}^2 x > 4$. **Решение:** 1. ОДЗ: $$ x > 0 $$ 2. Введём замену переменной: пусть $t = \log_{\frac{1}{6}} x$. Неравенство принимает вид: $$ t^2 > 4 $$ $$ t^2 - 4 > 0 $$ $$ (t - 2)(t + 2) > 0 \implies t < -2 \quad \text{или} \quad t > 2 $$ 3. Вернёмся к переменной $x$: - Первый случай: $$ \log_{\frac{1}{6}} x < -2 $$ Так как основание $0 < \frac{1}{6} < 1$, знак неравенства меняется: $$ x > \left(\frac{1}{6}\right)^{-2} \implies x > 36 $$ С учётом ОДЗ: $x \in (36; +\infty)$. - Второй случай: $$ \log_{\frac{1}{6}} x > 2 $$ Так как основание $0 < \frac{1}{6} < 1$, знак неравенства меняется: $$ x < \left(\frac{1}{6}\right)^2 \implies x < \frac{1}{36} $$ С учётом ОДЗ ($x > 0$): $x \in \left(0; \frac{1}{36}\right)$. 4. Объединяем оба случая: $$ x \in \left(0; \frac{1}{36}\right) \cup (36; +\infty) $$ **Ответ:** $x \in \left(0; \frac{1}{36}\right) \cup (36; +\infty)$.