ГДЗ по алгебре 11 класс Александрова самостоятельные работы (Мордкович) Базовый уровень С-22. вариант - 4

### 1. Решите уравнение: **а)** $3 \log_{\frac{1}{8}}^2 x + 5 \log_{\frac{1}{8}} x - 2 = 0$ Область допустимых значений (ОДЗ): $x > 0$. Введем замену переменной: пусть $t = \log_{\frac{1}{8}} x$. Получаем квадратное уравнение: $$ 3t^2 + 5t - 2 = 0 $$ Найдем дискриминант: $$ D = 5^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 25 + 24 = 49 = 7^2 $$ Корни уравнения: $$ t_1 = \frac{-5 + 7}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} $$ $$ t_2 = \frac{-5 - 7}{2 \cdot 3} = \frac{-12}{6} = -2 $$ Вернемся к переменной $x$: 1) $\log_{\frac{1}{8}} x = \frac{1}{3} \implies x = \left(\frac{1}{8}\right)^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{\frac{1}{8}} = \frac{1}{2}$; 2) $\log_{\frac{1}{8}} x = -2 \implies x = \left(\frac{1}{8}\right)^{-2} = 8^2 = 64$. Оба значения удовлетворяют ОДЗ ($x > 0$). Ответ: $\frac{1}{2}; \, 64$. --- **б)** $x^{\log_{\frac{1}{3}} x + 4} = \frac{1}{243}$ *(Примечание: запись $\log_1 x$ в условии математически некорректна, так как основание логарифма не может быть равным $1$. Дробная черта и единица возникли вследствие опечатки типографского набора при печати основания $\frac{1}{3}$ в показателе степени).* Область допустимых значений (ОДЗ): $x > 0$. Прологарифмируем обе части уравнения по основанию $\frac{1}{3}$: $$ \log_{\frac{1}{3}} \left(x^{\log_{\frac{1}{3}} x + 4}\right) = \log_{\frac{1}{3}} \left(\frac{1}{243}\right) $$ Используя свойство логарифма степени $\log_a (b^k) = k \log_a b$, вынесем показатель степени перед логарифмом: $$ (\log_{\frac{1}{3}} x + 4) \cdot \log_{\frac{1}{3}} x = \log_{\frac{1}{3}} \left(\left(\frac{1}{3}\right)^5\right) $$ $$ (\log_{\frac{1}{3}} x + 4) \cdot \log_{\frac{1}{3}} x = 5 $$ Пусть $t = \log_{\frac{1}{3}} x$. Получаем уравнение: $$ (t + 4)t = 5 $$ $$ t^2 + 4t - 5 = 0 $$ По теореме Виета корни уравнения: $$ t_1 = 1, \quad t_2 = -5 $$ Выполним обратную замену: 1) $\log_{\frac{1}{3}} x = 1 \implies x = \left(\frac{1}{3}\right)^1 = \frac{1}{3}$; 2) $\log_{\frac{1}{3}} x = -5 \implies x = \left(\frac{1}{3}\right)^{-5} = 3^5 = 243$. Оба найденных корня удовлетворяют ОДЗ ($x > 0$). Ответ: $\frac{1}{3}; \, 243$. --- ### 2. Решите систему уравнений: $$ \begin{cases} 3^x \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^y = 243; \\ \log_2 x + \log_2 y = 3 + \log_2 3. \end{cases} $$ Область допустимых значений (ОДЗ) переменных: $$ \begin{cases} x > 0, \\ y > 0. \end{cases} $$ Преобразуем первое уравнение системы, приведя степени к основанию $3$: $$ 3^x \cdot (3^{-1})^y = 3^5 $$ $$ 3^x \cdot 3^{-y} = 3^5 $$ $$ 3^{x - y} = 3^5 \implies x - y = 5 \implies x = y + 5 $$ Преобразуем второе уравнение системы, используя свойства логарифмов: $$ \log_2 (xy) = \log_2 2^3 + \log_2 3 $$ $$ \log_2 (xy) = \log_2 8 + \log_2 3 $$ $$ \log_2 (xy) = \log_2 (8 \cdot 3) $$ $$ \log_2 (xy) = \log_2 24 \implies xy = 24 $$ Подставим выражение $x = y + 5$ в уравнение $xy = 24$: $$ (y + 5)y = 24 $$ $$ y^2 + 5y - 24 = 0 $$ По теореме Виета: $$ y_1 = 3, \quad y_2 = -8 $$ С учетом условия ОДЗ ($y > 0$), значение $y = -8$ является посторонним. Подходит только $y = 3$. Найдем соответствующее значение $x$: $$ x = 3 + 5 = 8 $$ Пара $(8; 3)$ удовлетворяет условиям $x > 0$ и $y > 0$. Ответ: $(8; 3)$.