ГДЗ по алгебре 11 класс Александрова самостоятельные работы (Мордкович) Базовый уровень С-22. вариант - 3

### 1. Решите уравнение: **а)** $2 \log_4^2 x + 5 \log_4 x - 3 = 0$ Область допустимых значений (ОДЗ): $x > 0$. Введём замену переменной: пусть $t = \log_4 x$. Тогда уравнение принимает вид квадратного: $$ 2t^2 + 5t - 3 = 0 $$ Найдём корни через дискриминант: $$ D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49 = 7^2 $$ $$ t_1 = \frac{-5 + 7}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} $$ $$ t_2 = \frac{-5 - 7}{2 \cdot 2} = \frac{-12}{4} = -3 $$ Вернёмся к исходной переменной: 1) $\log_4 x = \frac{1}{2} \implies x = 4^{\frac{1}{2}} = \sqrt{4} = 2$; 2) $\log_4 x = -3 \implies x = 4^{-3} = \frac{1}{4^3} = \frac{1}{64}$. Оба найденных значения удовлетворяют условию $x > 0$. **Ответ:** $\frac{1}{64}; \, 2$. --- **б)** $x^{\log_{0,5} x - 1} = \frac{1}{64}$ Область допустимых значений (ОДЗ): $x > 0$. Прологарифмируем обе части уравнения по основанию $0{,}5$: $$ \log_{0,5} \left(x^{\log_{0,5} x - 1}\right) = \log_{0,5} \frac{1}{64} $$ Используя свойство логарифма степени $\log_a (b^k) = k \log_a b$ и то, что $\frac{1}{64} = \left(\frac{1}{2}\right)^6 = 0{,}5^6$: $$ (\log_{0,5} x - 1) \cdot \log_{0,5} x = 6 $$ Сделаем замену переменной: пусть $t = \log_{0,5} x$. Получаем: $$ (t - 1)t = 6 $$ $$ t^2 - t - 6 = 0 $$ По теореме Виета: $t_1 = 3$, $t_2 = -2$. Вернёмся к замене: 1) $\log_{0,5} x = 3 \implies x = (0{,}5)^3 = \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8} = 0{,}125$; 2) $\log_{0,5} x = -2 \implies x = (0{,}5)^{-2} = \left(\frac{1}{2}\right)^{-2} = 2^2 = 4$. Оба корня положительны и входят в ОДЗ. **Ответ:** $0{,}125; \, 4$. --- ### 2. Решите систему уравнений: $$ \begin{cases} 2^x \cdot 2^{-y} = \frac{1}{128}; \\ \log_3 x + \log_3 y = 2 + \log_3 2. \end{cases} $$ ОДЗ системы: $$ \begin{cases} x > 0; \\ y > 0. \end{cases} $$ Преобразуем первое уравнение системы: $$ 2^{x - y} = 2^{-7} \implies x - y = -7 $$ Преобразуем второе уравнение системы, используя свойства логарифмов: $$ \log_3 (xy) = \log_3 (3^2) + \log_3 2 $$ $$ \log_3 (xy) = \log_3 9 + \log_3 2 $$ $$ \log_3 (xy) = \log_3 (9 \cdot 2) $$ $$ \log_3 (xy) = \log_3 18 \implies xy = 18 $$ Получаем систему алгебраических уравнений: $$ \begin{cases} x - y = -7; \\ xy = 18. \end{cases} $$ Выразим $x$ из первого уравнения: $x = y - 7$ и подставим во второе уравнение: $$ (y - 7)y = 18 $$ $$ y^2 - 7y - 18 = 0 $$ По теореме Виета находим корни: $y_1 = 9$, $y_2 = -2$. С учётом ОДЗ ($y > 0$) значение $y = -2$ является посторонним. Берём $y = 9$: $x = 9 - 7 = 2$. Значение $x = 2$ также удовлетворяет ОДЗ ($x > 0$). **Ответ:** $(2; 9)$.